序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數(shù)學(xué)原始概念范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

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【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)原始概念；衍生的概念；數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性

我們知道，數(shù)學(xué)是研究客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。而研究數(shù)學(xué)一定是從數(shù)學(xué)概念開始，然后才由概念與概念之間的聯(lián)系形成命題、定理、性質(zhì)、法則等等。在科學(xué)的許多分支中，數(shù)學(xué)可能要算是一個古老的學(xué)科了，它的歷史和人類的歷史幾乎是同樣久遠(yuǎn)。當(dāng)然，它最初還不過是一些數(shù)學(xué)知識的萌芽，在以萬年為計算單位的漫長時間里，緩慢地逐漸積累著。其中最古老的數(shù)學(xué)原始概念是世界各國人民世世代代在生活和生產(chǎn)中要解決的問題，經(jīng)過長期的觀察、歸納、抽象、概括逐步形成和不斷的完善。如分配產(chǎn)品、測量土地、修建廟宇、航海貿(mào)易、礦山開發(fā)、火炮制造等等，不斷發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造各個數(shù)學(xué)分支。而知識不能遺傳只能通過學(xué)習(xí)獲得，我們的學(xué)生作為數(shù)學(xué)知識的繼承者，不可能重新嘗試前人幾千年來不斷的探索和逐步完善的過程，許多數(shù)學(xué)概念的原始生成過程隨著時間的流逝已經(jīng)不可復(fù)原或隨數(shù)學(xué)的發(fā)展逐漸喪失了它本來的面貌。這就需要數(shù)學(xué)教師與時俱進(jìn)創(chuàng)造符合教材知識的背景，探索數(shù)學(xué)概念和生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，通過合理的想象和合情的推理，盡可能的在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中自圓其說，才能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是自然的合理的，有人情味的。把教科書上的學(xué)術(shù)形態(tài)變成課堂上的教育形態(tài)，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識。在知識爆炸的現(xiàn)代，數(shù)學(xué)知識不僅深入到自然科學(xué)也深入到社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，數(shù)學(xué)知識的理解應(yīng)建立在一個比較廣闊的平臺。讓學(xué)生穿越漫長的時空隧道進(jìn)行觀察、歸納、類比、抽象、概括這些數(shù)學(xué)原始概念以及由這些原始概念衍生出來的另外一些數(shù)學(xué)概念。經(jīng)常涉及的原始數(shù)學(xué)概念有：自然數(shù)、代數(shù)式、點(diǎn)、線、面、相交、平行、相等、不等、加、減、集合、映射等。現(xiàn)在戲說這些概念的形成及其衍生的概念，如有不當(dāng)，請批評指正。

首先，解釋一下幾個有關(guān)詞語。觀察：就是人們通過感官，或借助于一定的科學(xué)儀器，對客觀對象在自然條件下，進(jìn)行有目的、有計劃、有步驟地考察和描述的一種方法。歸納：就是通過對某類事物中的若干特殊情況的分析得出一般結(jié)論的思維方法。我們所說的歸納是指不完全歸納，不完全歸納盡管帶有猜想、想象的成分，所得的結(jié)論也不一定真實(shí)可靠，但卻是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、提出猜想的基本方法，對培養(yǎng)學(xué)生的探究意識有著不可估量的作用。與歸納這個詞有關(guān)的還有完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法，雖然同有歸納二字，但它們與不完全歸納有著本質(zhì)的區(qū)別，不完全歸納是一般性的思維方法，而完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法僅適用于數(shù)學(xué)。類比：就是根據(jù)兩類事物存在的一些相似或相同的屬性，猜測其他的一些屬性也可能相似或相同的思維方法。抽象：就是在頭腦中把同類事物的共同的本質(zhì)特征抽取出來，并舍棄個別的非本質(zhì)特性的思維過程。例如，我們從兩個蘋果、兩棵樹、兩個人中得出2這個量，這個2在數(shù)學(xué)中不再針對具體的兩個東西，2+3=5，也不停留在2個蘋果加3個蘋果等于5個蘋果這個具體的事物上。在數(shù)學(xué)的抽象中首先保留了量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切，數(shù)學(xué)本身幾乎完全處于抽象概念和它們的相互關(guān)系之中，任何一個數(shù)學(xué)推理和計算都是在抽象對象之間展開的。由于所說的抽象就是由特殊上升到了一般，數(shù)學(xué)研究也就具有普遍意義，它們所反映的不是某一特定事物或現(xiàn)象的量或形的特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量或形方面的共同性質(zhì)。數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性。概括：就是把同類事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來，或把個別事物的某些屬性推廣到同類事物中去的思維方法。概括可分為經(jīng)驗概括和理論概括。所謂經(jīng)驗概括就是從事實(shí)出發(fā)，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍認(rèn)識。而理論概括則是指在經(jīng)驗概括的基礎(chǔ)上由對種的特性的認(rèn)識上升為對種所屬的屬的特性的認(rèn)識，從而達(dá)到對客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識。

我們再來看一下漫長歲月中所形成的一些數(shù)學(xué)概念：

（1）自然數(shù)：兩個人、兩個蘋果、兩只羊等，除去他們的物理性質(zhì)差別外，從數(shù)量上看是相同的，經(jīng)過大量的觀察和歸納，我們把這樣一個數(shù)量歸納為2，以后只要與這樣一樣的事物統(tǒng)統(tǒng)概括我2。（2）加法：先有2個蘋果，又得到3個蘋果，共有5個蘋果。記作2+3=5，當(dāng)然，+號與=號是近代才發(fā)明使用的，由若干個相同的量相加，出現(xiàn)了乘法，2+2+2+2+2=2*5，乘法不能算是原始概念，只不過是加法的簡便運(yùn)算。（3）減法：從總量中減少一部分，就產(chǎn)生了減法，而除法只不過是等量減法的簡便運(yùn)算而已。如：6個東西每次減少2個，經(jīng)過幾次才能減完，因為：6-2=4，4-2=2，2-2=0，經(jīng)過了三次，故簡化為：6/2=3。（4）分?jǐn)?shù)：把一堆東西平均分成幾份就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。或認(rèn)為以一條線段去公度另一條線段產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，我認(rèn)為在交通不便、信息閉塞的古代，不同的地域產(chǎn)生分?jǐn)?shù)有不同的方法。（5）無理數(shù)：古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實(shí)，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的，經(jīng)過曲折漫長的過程產(chǎn)生了無理數(shù)。（6）負(fù)數(shù):以某一量為標(biāo)準(zhǔn)，比該量多時記作+，比該量少時記作-，于是就產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。至于后來又產(chǎn)生了復(fù)數(shù)，它們統(tǒng)統(tǒng)是由自然數(shù)衍生而來的。（7）代數(shù)式：到了十六世紀(jì)，伴隨著文藝復(fù)興的，科學(xué)革命的時代也開始了。和天文學(xué)同時，西方近代數(shù)學(xué)也隨之興起。十六世紀(jì)西方數(shù)學(xué)的最大成就，乃是符號代數(shù)學(xué)的創(chuàng)立。法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在《分析引論術(shù)》中，用輔音字母表示已知數(shù)，用元音字母表示未知數(shù)，并開始用這些字母間的計算代表具體數(shù)值間的計算。而這正是算術(shù)和代數(shù)之間的顯著區(qū)別。用字母表示數(shù)，這在今天學(xué)過代數(shù)的人看來是一件稀松平常的事情，如果我們追溯代數(shù)學(xué)的歷史，就不能不感到驚訝，用字母表示數(shù)的歷史竟是如此漫長。美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M.克萊因在批判“新數(shù)運(yùn)動”時曾指出：“從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達(dá)和多笛卡爾之前，沒有一個數(shù)學(xué)家能意識到字母可用來代表一類數(shù)。”由于不知道用字母表示數(shù)，數(shù)列通項概念在修辭代數(shù)里是根本不存在的，所有數(shù)列求和的結(jié)果只能是針對具體的若干項。當(dāng)有y個字母x相加時，就產(chǎn)生了單項式xy。即：x+x+……+x=xy。當(dāng)然，x*x=x2是屬于人為的規(guī)定表示方法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。有了單項式、加法、減法就能衍生出多項式。而分式是由分?jǐn)?shù)類比而產(chǎn)生的。方程的產(chǎn)生。（8）在中國東漢初年數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》和古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖及古印度數(shù)學(xué)家波羅摩笈陀的著作中對解方程都有論述。中國古代解決一次聯(lián)立方程(線性方程組)問題，用算籌表示一次聯(lián)立方程組，類似于由方程組各系數(shù)構(gòu)成的矩陣，其解法和現(xiàn)代中學(xué)代數(shù)中的消元法基本相同。但古希臘和古印度的解法遠(yuǎn)不如中國的完整。直到十六世紀(jì)，歐洲才有了加減消元法。（9）有了代數(shù)式、等號、大于號、小于號等符號以后，方程、函數(shù)、不等式的研究獲得了飛速發(fā)展。當(dāng)n個x相乘的結(jié)果為a時，所求的x值就是n次方根，xn=a，x=。至于后來對a、n的細(xì)化討論，就另當(dāng)別論了。（10）法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（1596―1650）是解析幾何的創(chuàng)始人之一，他的中心思想是使代數(shù)和幾何結(jié)合起來。在《幾何學(xué)》中引入了坐標(biāo)方法和用方程表示曲線的思想。最初所使用的坐標(biāo)系中，兩個坐標(biāo)軸的夾角不要求一定是直角，而且軸并沒有明顯的出現(xiàn)。至于“坐標(biāo)”，“坐標(biāo)系”，“橫坐標(biāo)”，“縱坐標(biāo)”等名詞，也是后來人們逐漸使用的。雖然笛卡兒當(dāng)初的坐標(biāo)系還不夠完善，但是笛卡兒當(dāng)初邁出的第一步具有決定意義，它促進(jìn)了微積分的創(chuàng)立。從此數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的新時期。（11）由于微積分學(xué)的創(chuàng)立而產(chǎn)生的一些分支:微分方程、無窮級數(shù)、微分幾何學(xué)、變分學(xué)等等的進(jìn)一步發(fā)展，就成了十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的最重要內(nèi)容，這些內(nèi)容構(gòu)成了今天數(shù)學(xué)各分支學(xué)科中比較重要的一個學(xué)科――數(shù)學(xué)分析。（12）函數(shù)：函數(shù)的概念，從一開始，就與動點(diǎn)的軌跡與解析幾何的產(chǎn)生是分不開的。眾所周知，當(dāng)對動點(diǎn)的軌跡進(jìn)行描述時，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相互依賴而同時發(fā)生各自變化，很自然可以使人們產(chǎn)生變量、因變量的思想，從而也可以很自然地導(dǎo)入函數(shù)的概念。至于函數(shù)的概念不斷發(fā)展，反映了近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展，同時也與解析數(shù)學(xué)、函數(shù)論的發(fā)展相輔相成。

【參考文獻(xiàn)】

[1]季素月.中學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)研究：東北師范大學(xué)出版社.1999

[2]張雄、李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究：高等教育出版社.2003

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)知識，知識類型，教學(xué)方式

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）06-262-01

根據(jù)數(shù)學(xué)知識本身的特點(diǎn)，可把數(shù)學(xué)知識分成五種類型：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題（公理和定理）、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)歷史知識。下面分別對它們及其教學(xué)方式進(jìn)行闡述：

一、數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)方式

1、數(shù)學(xué)概念。一般來說，數(shù)學(xué)知識的學(xué)是開始于數(shù)學(xué)概念，因此，可以說數(shù)學(xué)概念是一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如要學(xué)習(xí)“一元二次方程”，首先必須明確“一元二次方程”這一數(shù)學(xué)概念的含義，然后才能探究它的解法及應(yīng)用。

一般來說，數(shù)學(xué)概念通常有以下幾種情況：

（1）反映對象之間的相互關(guān)系的（2）反映對象特征的，（3）反映對象的基本元素的。

2、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方式。（1）對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，首先應(yīng)盡量讓學(xué)生獲得感性認(rèn)識，即來源于學(xué)生觀察自己所熟悉的日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中的現(xiàn)實(shí)模型，尤其對一些原始概念更應(yīng)如此，如點(diǎn)、線、面，學(xué)生只需觀察課桌的邊沿及桌面等實(shí)物，并進(jìn)行抽象，就可形成這些概念，有些概念不是直接來源于實(shí)物模型，是產(chǎn)生于相對低級的抽象概念，這就需要我們在已有的舊概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新概念。（2）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，既要重視對概念本身的把握，也要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的形成過程，在教學(xué)時應(yīng)注意承前啟后，形成一個具有層次結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。如在《四邊形》一章中，由四邊形平行四邊形矩形正方形。在教學(xué)時可自制教學(xué)模型，從運(yùn)動的角度，由舊的概念引出新的概念，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有一個較為深刻的理解。

（3）多媒體也給我們數(shù)學(xué)概念的教學(xué)帶來了極大的方便，如在《常見幾何體及其分類》、立體圖形的《三視圖》教學(xué)時，利用多媒體展示模型，往往能收到較好效果。

二、數(shù)學(xué)命題及其教學(xué)方式

1、數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)命題是闡述概念具有某種性質(zhì)或概念之間具有某種關(guān)系的判斷的語句，數(shù)學(xué)命題分為公理和定理。公理是人們在實(shí)踐中得出的得到公認(rèn)而不需要證明就確認(rèn)其正確性的原始命題；定理是在原始命題的基礎(chǔ)上，通過邏輯推理證明其正確性的真命題，如歐幾里德《幾何原本》包括5條公理，5條公段（常統(tǒng)稱公理），119個定義，465條命題，構(gòu)成歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系。

2、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)方式。初中階段所學(xué)公理少且比較淺顯，如等量加等量，其和相等，學(xué)生容易接受，在此不再贅述。

數(shù)學(xué)定理的教學(xué)不要固守“展示定理證明應(yīng)用”的老套路，而應(yīng)以問題的形式提出，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、討論、試驗、歸納等方式來自己探究、發(fā)現(xiàn)定理的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生探究未知的好奇心，引發(fā)他們主動解決問題的興趣。同時定理的學(xué)習(xí)不僅僅是定理本身，還要主動思考定理是否存在逆定理，定理的條件是否可以刪減，并尋求相應(yīng)的實(shí)例，從各個角度去剖析定理，以達(dá)到真正理解定理的目的。

三、數(shù)學(xué)問題及其教學(xué)方式

我們把以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)知識才能解決的問題稱之為數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題可分為純數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用題。數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的心臟，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的載體，一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸根到底要能用之于解決數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)問題的設(shè)計應(yīng)該以學(xué)生的生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，要賦予數(shù)學(xué)問題合理、生動而趣味的現(xiàn)實(shí)背景，以此激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望與潛能。

問題的探索過程中，要引導(dǎo)學(xué)生綜合多種感官，進(jìn)行直覺猜想，動手操作，相互交流，歸納論證。

四、數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)方式

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓。初中階段常用的數(shù)學(xué)思想有：方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、歸納思想、轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有：特殊化、一般化、反證法、待定系數(shù)法、配方法等。

數(shù)學(xué)思想方法的獲得需要學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中反復(fù)體驗、實(shí)踐、探究，這樣才能逐漸認(rèn)識，理解各種數(shù)學(xué)知識的用途及其使用的場合，最終提高學(xué)生解決問題的能力。教師在平時教學(xué)中，應(yīng)有意識地讓學(xué)生體會到利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的奇妙之處。

五、數(shù)學(xué)史知識及其教學(xué)方式

新課改以來，數(shù)學(xué)史知識開始受到廣大數(shù)學(xué)教育工作者的重視，但由于教材中數(shù)學(xué)史知識的貧乏，廣大教師認(rèn)識上的不足等多方面原因，在實(shí)際教學(xué)工作中，數(shù)學(xué)史知識沒有發(fā)揮它應(yīng)有的教育功能。

首先，數(shù)學(xué)上的歷史故事能進(jìn)入學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，成為學(xué)生提取相關(guān)內(nèi)容的導(dǎo)引線，生動有趣的數(shù)學(xué)故事也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其次，給學(xué)生傳授歷史上數(shù)學(xué)家在重大發(fā)現(xiàn)的思維過程，有利于掌握數(shù)學(xué)的思維方法，從而提高教學(xué)質(zhì)量。再次，數(shù)學(xué)史知識還能培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新和堅持不懈的精神品質(zhì)。在數(shù)學(xué)史的教學(xué)中，要讓學(xué)生理解故事背后所包含的深層內(nèi)涵，可采用多種形式進(jìn)行。

總之，把數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分類，并根據(jù)知識類型選擇適當(dāng)、有效的教學(xué)方式，有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，也有利于教師充分理解數(shù)學(xué)知識，優(yōu)化教學(xué)方式，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]“人教版”與“華師版”初中數(shù)學(xué)教材比較[OL].互聯(lián)網(wǎng)-畢業(yè)設(shè)計-道客.

[2] 張杰.淺談如何學(xué)好初中數(shù)學(xué)[J].讀寫算：素質(zhì)教育論壇，2012（20）.

[3] 中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)研究[D].互聯(lián)網(wǎng)-碩士論文-道客巴巴.

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【關(guān)鍵詞】函數(shù)教學(xué)

一、認(rèn)識函數(shù)思想,引領(lǐng)教學(xué)方向

函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律,函數(shù)的思想方法就是提取問題的數(shù)學(xué)特征,用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系,并利用函數(shù)的性質(zhì)研究解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。盡管內(nèi)容不多,但函數(shù)的思想已經(jīng)有所體現(xiàn),它仍占據(jù)著重要地位。

二、理清初中函數(shù)概念,系統(tǒng)掌握初等函數(shù)知識

1、理解概念的邏輯性。數(shù)學(xué)概念可分為兩個重要方面:一是概念的'質(zhì)',也就是概念的內(nèi)涵(概念的本質(zhì)屬性);二是概念的'量'也就是概念的外延(概念所有對象的和)概念的外延還有大小之分,外延大的概念叫做種概念,外延小的概念叫做屬概念,一個屬概念與其他屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差,要想給某一個概念下定儀,首先應(yīng)給學(xué)生指出被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,既概念定義 = 種概念 + 屬查。

2、明確概念的層次性。一般的概念都是通過對實(shí)驗現(xiàn)象或?qū)δ持芯唧w事物分析經(jīng)過抽象概括而導(dǎo)出的,他是一個形成過程,中學(xué)中的許多概念,是從幾個原始概念和公理出發(fā),通過一番的推理而擴(kuò)展成為一系列的定義和公里,而每一個新出現(xiàn)的概念都依賴著舊的概念來表達(dá),或是由舊概念推倒出來的。

3、掌握概念的抽象性。初中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多原始概念,都是對具體的數(shù)和形的感知而形成表象,再從表象經(jīng)過抽象概括而形成的。概念是人們對感性材料進(jìn)行抽象的產(chǎn)物,感性認(rèn)識是形成概念的基礎(chǔ)。如果學(xué)生沒有感性認(rèn)識或感性認(rèn)識不怎么完備時,我們就應(yīng)該借助與實(shí)物、模型、多媒體課件、或形象的語言進(jìn)行較直觀的教學(xué),使學(xué)生從中獲得感性認(rèn)識。

三、繪制初等函數(shù)圖象 ,理解初等函數(shù)性質(zhì)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說:"數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微"。因此要想繪制初等函數(shù)圖象,理解其性質(zhì),首先要了解"數(shù)形結(jié)合"的思想。數(shù)學(xué)中大量數(shù)的問題后面都隱含著形的信息,圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系。我們要抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,通過形的形象、直觀揭示出來,以達(dá)到形幫數(shù)的目的。

四、運(yùn)用函數(shù)同其他學(xué)科和實(shí)際的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣

函數(shù)是這樣定義的,"設(shè)在某變化過程中的兩個變量x和y,若對于x在某一范圍內(nèi)的每一確定的值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么,就把y稱為x的函數(shù) ,x是自變量,y是因變量"。

如圖1⑴中,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿路線ABCD運(yùn)動,到點(diǎn)D停止;點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DCBA路線運(yùn)動,到點(diǎn)A停止。若P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),點(diǎn)P的速度為1厘米/秒,點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒。a秒時,P、Q兩點(diǎn)同時改變速度,點(diǎn)P的速度變?yōu)閎厘米/秒,點(diǎn)Q的速度變?yōu)閐厘米/秒。圖1第2個圖是點(diǎn)P出發(fā)x秒后APD的面積S1(平方厘米)與x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象。圖1第3個圖是點(diǎn)Q出發(fā)x秒后AQD的面積S2(平方厘米)與x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象。

2、函數(shù)與市場經(jīng)濟(jì)

例2、某化工材料銷售公司購進(jìn)了一種化工原料共7000千克,購進(jìn)價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元,也不得低于30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):單價定為70元時日均銷售60千克;單價每低1元日均多售出2千克。在銷售過程中,每天還要支出其他費(fèi)用500元(天數(shù)不足一天時,按整天計算)。設(shè)銷售單價為x元,日均獲利y元。

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(65,1950)。二次函數(shù)的草圖(如圖2)所示。

觀察草圖可知,當(dāng)單價定為65元時,日均獲利最多,是1950元。

⑶、當(dāng)日均獲利最多時,單價為65元,日均銷售60+2×(70-65)=70千克,那么總獲利為1950×(7000÷70)=195000元

當(dāng)銷售單價最高時,單價為70元日均銷售60千克,將這種化工原料全部售完需700÷60≈117天。那么總獲利為(70-30)×7000-117×500=221500元

221500>195000,且221500 - 195000 = 26500

銷售單價最高時獲總利最多,且多獲利26500。

篇(4)

關(guān)鍵詞：　構(gòu)造性數(shù)學(xué)　遞歸函數(shù)　可靠性

一，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的一個重要領(lǐng)域。它的根本特征就是對可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當(dāng)我們把能證實(shí)“存在一個X滿足性質(zhì)A”的證明稱為構(gòu)造性的，是指能從這個證明中具體地給出滿足性質(zhì)A的一個x；或者能從此證明中得到一個機(jī)械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)A的這個x來。反之，經(jīng)典數(shù)學(xué)（非構(gòu)造性數(shù)學(xué)）中的純存在性證明被稱之為非構(gòu)造的。非構(gòu)造性證明主要是通過使用反證法來實(shí)現(xiàn)的。人們一般把這種強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性的數(shù)學(xué)稱為構(gòu)造性數(shù)學(xué)。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)最早起源于一種構(gòu)造性哲學(xué)思想，這種思想可以追溯到康德那里。康德認(rèn)為，數(shù)學(xué)的最終真理性在于數(shù)學(xué)概念可以通過人的智慧構(gòu)造出來。他說：“數(shù)學(xué)必須根據(jù)純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構(gòu)造出來”。又說“數(shù)學(xué)知識是從概念的構(gòu)造得出來的理性知識。構(gòu)造一個概念，意即先天地提供出來與概念相對應(yīng)的直觀。”（〔1〕，第39頁）后來，19世紀(jì)德國的克羅內(nèi)克進(jìn)一步指出：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作。”主張自然數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來，否則就不能作為數(shù)學(xué)對象。由此克羅內(nèi)克把許多數(shù)學(xué)成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設(shè)的少，故其思想在當(dāng)時并未產(chǎn)生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大數(shù)學(xué)家也都是倡導(dǎo)構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想，他們實(shí)際的數(shù)學(xué)工作并未嚴(yán)格地遵循自己的哲學(xué)思想。因此，現(xiàn)代意義的構(gòu)造性數(shù)學(xué)應(yīng)以布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)為開端，迄今，在構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域里，由于宗旨、觀點(diǎn)和方法的不同，已經(jīng)形成了一些不同的學(xué)派。最著名的除了布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)以外，還有希爾伯特的元數(shù)學(xué)、畢曉普等人的構(gòu)造性數(shù)學(xué)以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)和希爾伯特的元數(shù)學(xué)，我國數(shù)學(xué)哲學(xué)界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來發(fā)展起來的畢曉普、馬爾科夫的構(gòu)造性數(shù)學(xué)作些簡述。（〔2〕、〔3〕第101—109頁）

以畢曉普、邁希爾等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一個與早先直覺主義數(shù)學(xué)齊名但又不同于它的新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用普通邏輯于可編碼的對象和遞歸函數(shù)。他們所關(guān)心的不是數(shù)學(xué)的奠基問題，而是要用構(gòu)造性方法來研究數(shù)學(xué)。他們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)看成古典數(shù)學(xué)的一個分支，在這個分支中所討論的對象都要求是可計算的。以畢曉普的工作為例，他認(rèn)為只證明一個數(shù)學(xué)對象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機(jī)械的辦法把這個對象構(gòu)造出來。他不用非直觀的概念來重建數(shù)學(xué)，而是從標(biāo)準(zhǔn)的算術(shù)規(guī)則和有理數(shù)出發(fā)，通過避開“理想”觀念并不斷地檢驗從直觀生成的對象和定理，逐步地進(jìn)行構(gòu)造，以求得數(shù)學(xué)的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加以改造，使之具有構(gòu)造的合理性。如確定一個集合，原來康托的樸素定義只要求給出一個判別集合中元素的規(guī)則即可，而畢曉普認(rèn)為還應(yīng)要求擬定出一個辦法來真正構(gòu)造集合的一個元素并證明集合中兩個元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭議的公理——選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構(gòu)造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當(dāng)大的一部分有價值的數(shù)學(xué)。1967年畢曉普的《構(gòu)造性分析》的出版，標(biāo)志著這一新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的建立，而隨后《構(gòu)造性泛函分析》的問世，則表明了這一領(lǐng)域的新進(jìn)展。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)的另一個新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是以算法概念為基礎(chǔ)的，即把其它一切概念都?xì)w約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語言表達(dá)，所有引用實(shí)無窮的話都嚴(yán)格地避免，并采用了直覺主義邏輯。他們對構(gòu)造分析學(xué)作了相當(dāng)深入的研究，對于許多數(shù)學(xué)分支的算法化以及制定構(gòu)造邏輯的語義學(xué)都作了很可觀的工作。如他把實(shí)數(shù)定義成一種逐次逼近的算法，實(shí)函數(shù)也就等同于一個算法。他的正規(guī)算法就是目前少數(shù)幾個力量最強(qiáng)的精確化的算法概念。

以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，是對早先直覺主義數(shù)學(xué)的發(fā)展、揚(yáng)棄。它一方面承繼了直覺主義的基本主張，強(qiáng)調(diào)在構(gòu)造數(shù)學(xué)內(nèi)部要求“證明存在一個具有性質(zhì)P的x，必須指出一個有限的方法來構(gòu)造x，以及找出一個有限的方法來證明x具有性質(zhì)P”。但另一方面，它又不同于直覺主義數(shù)學(xué)，它不象直覺主義數(shù)學(xué)那樣極端地要把全部數(shù)學(xué)都“構(gòu)造化”，他們只是想從構(gòu)造性的角度建立一門有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的新學(xué)數(shù)學(xué)，因為在他們看來，從構(gòu)造的觀點(diǎn)來研究，對許多老問題都會有新的見解。他們認(rèn)為構(gòu)造性數(shù)學(xué)和非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進(jìn)的。

二　構(gòu)造性數(shù)學(xué)的原則與基礎(chǔ)

如前所述，對可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征，其實(shí)也可以說，這就是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)原則。它要求一個關(guān)于“存在一個具有性質(zhì)P的x的證明”，必須解釋x的構(gòu)造是怎樣實(shí)行的。這與通常“純粹存在性證明”的做法不一樣，在那里，一個具有性質(zhì)P的x的存在性是通過采用指出假設(shè)“x不存在”就會導(dǎo)致矛盾的辦法來證明的。從構(gòu)造性的觀點(diǎn)看，后一證明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未給出尋找x的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構(gòu)造主義者還必須采取一些附加的構(gòu)造性辦法來證明x具有性質(zhì)P。因此，僅僅證明如果x不具有性質(zhì)P就會導(dǎo)致矛盾是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為了充分認(rèn)識構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造數(shù)學(xué)之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個例子給予說明。如代數(shù)基本定理：

任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項式f至少有一個復(fù)根。　（Ⅰ）

對于（Ⅰ）最著名的非構(gòu)造性證明是，假設(shè)f不取零值，把劉維爾定理用于f的倒數(shù)，得出1／f是常數(shù)，于是f是常數(shù)，矛盾，證明完成。從構(gòu)造的觀點(diǎn)看，這里證明的并不是代數(shù)基本定理，而是較弱的命題：

不取零值的復(fù)數(shù)上多項式是常項。

（Ⅱ）

因為上述證明不能幫助你計算100階多項式的根，它沒有給出多項式求根的方法。但是布勞威爾卻對于首項系數(shù)為1的多項式的代數(shù)基本定理給出了一個構(gòu)造性的證明（證明的大體思路可參見文〔4〕）。有了這個證明，就可以求任意階（如100階）多項式的根了。

應(yīng)該指出，每一個構(gòu)造性證明也是同一命題的一個經(jīng)典證明。布勞威爾的證明也是代數(shù)基本定理的一個經(jīng)典證明。盡管布勞威爾的證明確實(shí)比用劉維爾定理的證明更長，但它也告訴了我們更多的信息。代數(shù)基本定理在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中被布勞威爾解釋成：有一個適用于任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項式f的有限方法，我們能夠用以計算f的根。

以上只是我們例舉的一個例子，其實(shí)每一個經(jīng)典定理都是向構(gòu)造性數(shù)學(xué)提出的一個挑戰(zhàn)：找出一個構(gòu)造性的說法，并給它以一個構(gòu)造性的證明。然而在多數(shù)情況下，找出經(jīng)典定理所對應(yīng)的構(gòu)造性內(nèi)容絕非易事。許多經(jīng)典的定理至今也看不出將其進(jìn)行構(gòu)造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構(gòu)造性數(shù)學(xué)內(nèi)部不得不暫時將這些有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)容排斥在外。但應(yīng)指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。

另一個重點(diǎn)問題是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題。這是一個涉及構(gòu)造性數(shù)學(xué)的可靠性，以及可構(gòu)造性何以能夠得以實(shí)現(xiàn)的重要問題。對此我們分兩部分來談。

首先，我們來看直覺主義數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。眾所周知，直覺主義數(shù)學(xué)是以自然數(shù)理論為其數(shù)學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)。因此對于直覺主義數(shù)學(xué)的建構(gòu)來說，首要的問題就是如何依據(jù)構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)在自然數(shù)的基礎(chǔ)上建立起它的實(shí)數(shù)理論，因為實(shí)數(shù)理論是整個分析學(xué)的基礎(chǔ)。有理數(shù)的構(gòu)建是容易的，只要把有理數(shù)作為整數(shù)對引進(jìn)即可。關(guān)鍵是如何在構(gòu)造意義下給出實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念。為了構(gòu)造實(shí)數(shù)概念，布勞威爾首先獨(dú)創(chuàng)了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構(gòu)造性的標(biāo)準(zhǔn)重新定義的一種集合：它等同于已構(gòu)成的數(shù)學(xué)對象所可能具有的一種性質(zhì)，依據(jù)這一性質(zhì)，我們可以有效地去確定這些對象是否屬于這一“屬種”。進(jìn)一步布勞威爾引進(jìn)了“選擇序列”的概念：“在任何時刻，一個選擇序列a系由一個有窮的節(jié)連同對它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數(shù)選擇序列”取代了經(jīng)典分析中的有理數(shù)柯西序列概念，并稱之為“實(shí)數(shù)生成子”。于是構(gòu)造意義下的單個實(shí)數(shù)就被定義為實(shí)數(shù)生成子的一個等價屬種。實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念建構(gòu)的比較晚，直到1919年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構(gòu)了符合構(gòu)造性要求的連續(xù)統(tǒng)概念（具體的建構(gòu)方法可參見〔5〕第168—170頁）。在那里，每個可能的選擇序列就是一個可構(gòu)造意義下的單個實(shí)數(shù)，而整個展形就是可構(gòu)造意義下的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)，兩者是同時構(gòu)造出來的。所謂展形，實(shí)際上也就是一種“自由選擇序列”——其中沒有對元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數(shù)的次序進(jìn)行下去。這樣，作為這種自由選擇的結(jié)果就不只是某個特殊的序列，而是各種可能的序列。實(shí)數(shù)理論的重構(gòu)，為直覺主義數(shù)學(xué)的展開奠定了基礎(chǔ)。

至此，或許有人會認(rèn)為直覺主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)已經(jīng)得到圓滿的重構(gòu)和解釋，其實(shí)不然，因為直覺主義者對其一直強(qiáng)調(diào)的“可構(gòu)造性”始終沒有給出一個明確的解釋。直覺主義者外爾就曾認(rèn)為：“反唯象論的構(gòu)造方法的成功是不可否認(rèn)的。然而它所依據(jù)的最終基礎(chǔ)仍是一個謎，甚至在數(shù)學(xué)中也是如此。”（〔6〕，第112頁）人們對于什么是“直覺上可構(gòu)造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構(gòu)造主義者認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)是不應(yīng)包含“否定”概念的，因為任何否定性的命題（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一p就意味著“我們給出了這樣一種構(gòu)造。由證明p的構(gòu)造出發(fā)就會得出矛盾”），都假設(shè)了一個不可能實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造（證明p的構(gòu)造）。另外，也有的直覺主義者對前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺主義的實(shí)數(shù)理論就無法得到重建。之所以人們對什么是直覺上“可構(gòu)造的”沒有一個統(tǒng)一的認(rèn)識，其原因就在于“可構(gòu)造的”只是一個不精確的日常用語，因而會被不同的人作不同的理解。盡管在直覺主義者看來，這一概念是無需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺主義者看來，卻有著進(jìn)一步解釋的必要。這里我們僅簡單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺主義概念全部都被歸約為一個基本概念，這就是“構(gòu)造”。然而直覺主義者只是隱蔽地使用了這個概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開化。由于整個解釋過程繁長，故只給出其結(jié)論（詳見〔3〕第97—98頁，〔7〕第545—551頁）。克林的結(jié)論是：直覺主義的構(gòu)造等同于部分可計算函數(shù)。進(jìn)一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過是任意的序列；布勞威爾的函數(shù)則是部分可計算函數(shù)。克林指出，只有存在相應(yīng)遞歸函數(shù)的公式才能在直覺主義系統(tǒng)內(nèi)證明。由此，直覺主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就被克林歸約到相遞歸函數(shù)或可計算函數(shù)之上了。另外，哥德爾對構(gòu)造性也作了類似于克林的解釋，不過哥德爾可容許構(gòu)造的類要寬得多，他不是把構(gòu)造等同于可計算函數(shù)，而是等同于可計算泛函（〔3〕第99—100頁）。

下面我們再來看看后期構(gòu)造數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。直覺主義數(shù)學(xué)之后的構(gòu)造性數(shù)學(xué)表現(xiàn)出多元的傾向，它們?nèi)菰S的數(shù)學(xué)對象也更寬，采取的構(gòu)造性方案也各有特點(diǎn)。這里我們無意對它們的細(xì)節(jié)進(jìn)行考察，只是想簡要地分析一下各自的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。斯派克是直覺主義數(shù)學(xué)之后較早表現(xiàn)出構(gòu)造性傾向的數(shù)學(xué)家之一，他在1949年就考察了一類較窄的實(shí)數(shù)，他稱之為原始遞歸實(shí)數(shù)。它以（1／2）［n］的精度來逼近：

（附圖　）

其中f′、f″、g均是原始遞歸函數(shù)。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級數(shù)Σf［，（n）］／g［n］部分和來逼近。羅賓遜（1951年）、里斯（1954年）等后來又給出了更廣一類的實(shí)數(shù)，稱為可計算實(shí)數(shù)，也是利用遞歸函數(shù)進(jìn)行逼近而得出的。不過為了建立構(gòu)造性分析學(xué)，更主要的是要給出構(gòu)造意義下的函數(shù)乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在1959年給出了一個叫可計算實(shí)變函數(shù)的概念（〔3〕第103頁）。克林也考慮了一類部分可計算泛涵，這些泛函使每個函數(shù)f都與一相對于f可計算的部分函數(shù)相關(guān)聯(lián)。到了60年代，構(gòu)造性數(shù)學(xué)有了一個大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng)立和發(fā)展了一種整數(shù)集的遞歸等價物的理論，這個理論的特點(diǎn)是用整數(shù)集換任意集，用部分遞歸映射換任意映射。1967年畢曉普出版《構(gòu)造性分析》，開創(chuàng)了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新時期，而他的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征就是把一切數(shù)學(xué)對象都化歸為可編碼的對象和遞歸函數(shù)。后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)中另一個體系是馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的算法概念為基礎(chǔ)的理論。他們采納的也是構(gòu)造性邏輯，但他們把一切概念都?xì)w約為算法這個概念。馬爾科夫提出的正規(guī)算法就是目前知道的最有力量的少數(shù)幾個算法之一。現(xiàn)已證明，正規(guī)算法與前面提到的遞歸函數(shù)或可計算函數(shù)都是等價的。這樣一來，我們便就可以不作區(qū)分地講，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是遞歸函數(shù)或算法。

綜合上述，我們認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸根到底是遞歸論。或者說，所謂構(gòu)造性、可構(gòu)造的與遞歸性、可遞歸的是相互等價的。這就是我們對構(gòu)造性的理解。有了這樣一種解釋，我們也就基本了解了“構(gòu)造性”的真實(shí)涵義。盡管從哲學(xué)上講，它可能還具有更深刻更豐富的內(nèi)涵，但從實(shí)踐、操作的角度講，它就是遞歸性，進(jìn)而也就是能行性。

三、構(gòu)造性數(shù)學(xué)的意義及其它

在對構(gòu)造性數(shù)學(xué)的意義作出評述之前，有必要先弄清楚以下兩個問題：1．構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？2．構(gòu)造性數(shù)學(xué)所要解決的問題和所要達(dá)到的目的是什么？

在經(jīng)典數(shù)學(xué)如此成功的情況下，為什么還會出現(xiàn)構(gòu)造性數(shù)學(xué)？構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？這確實(shí)是對構(gòu)造性數(shù)學(xué)進(jìn)行哲學(xué)研究所必須回答的一個問題。我們認(rèn)為，原因主要有以下四個方面：一、為了解決由于集合悖論的出現(xiàn)而引發(fā)的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。這是布勞威爾直覺主義數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接原因。對此，大家已比較熟悉，無須多言。然而這只是一個表層的原因，事實(shí)上還有以下更深刻的哲學(xué)原因。二、為了解決數(shù)學(xué)概念和方法的可靠性問題。由于集合悖論的出現(xiàn)，使得直覺主義者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的數(shù)學(xué)這個問題上。他們認(rèn)為“存在必須被構(gòu)造”。因此，只有經(jīng)過構(gòu)造性檢驗的數(shù)學(xué)才是可靠的。這樣一種認(rèn)識論主張，是構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根本原因。三、純存在性證明的局限性是構(gòu)造性數(shù)學(xué)、尤其是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的重要原因。大家知道，純存在性證明只能讓人知道某個方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出這個根均是未知的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)就是針對純存在性證明的這個缺陷，提出要證明一個方程的根是存在的，就必須給出求解它的有效方法。四、從構(gòu)造性數(shù)學(xué)的角度看經(jīng)典數(shù)學(xué)，會產(chǎn)生許多新的見解、新的方法，這不僅可以獲得對數(shù)學(xué)更深刻的認(rèn)識，而且可以促進(jìn)兩類數(shù)學(xué)的共同發(fā)展，這是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的又一原因。以上這些原因概括起來也就是兩點(diǎn)：一、經(jīng)典數(shù)學(xué)本身的不足；二、“存在必須被構(gòu)造”的認(rèn)識論信念。我們認(rèn)為，正是這兩個根本原因，引發(fā)了在本世紀(jì)產(chǎn)生的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。

從對構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生原因的以上認(rèn)識，不難看到，早期構(gòu)造性數(shù)學(xué)所要解決的就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，所要達(dá)到的目的就是確立數(shù)學(xué)的可靠性。后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)的目的沒有這么強(qiáng)，它們不再去解決數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題，而只是用構(gòu)造性方法來研究數(shù)學(xué)，建立一門與經(jīng)典數(shù)學(xué)平行的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)可靠性問題上，盡管后期構(gòu)造主義者并不完全贊同布勞威爾的哲學(xué)主張，尤其是“原始直覺”觀念，但他們還是吸取了“存在必須被構(gòu)造”的可靠性觀念。因此，確立數(shù)學(xué)的可靠性依然是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)的目的之一。那么構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不是解決了它想要解決的問題呢？通過對這個問題的回答，可以看到構(gòu)造性數(shù)學(xué)的重大意義和特殊價值。我們先來看看早期構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不是解決了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題。或許有人會對此問題的提出感到奇怪，不是早就說直覺主義同邏輯主義和形式主義一樣都已失敗了嗎？其實(shí)問題并非如此簡單。盡管在人們?yōu)閿?shù)學(xué)大廈尋找基礎(chǔ)的一個世紀(jì)以來，直覺主義已遭到世界數(shù)學(xué)界多數(shù)人的反對，但它的“失敗”不同于與其齊名的邏輯主義、形式主義的失敗。后兩者的失敗是邏輯地注定了的失敗，而直覺主義的“失敗”僅僅是因為其“過于謹(jǐn)慎而一時”地拒斥了許多被認(rèn)為很有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)，它在邏輯上并沒有被宣告失敗。現(xiàn)在完全追隨布勞威爾的人幾乎沒有了，但新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的發(fā)展正方興未艾。如果這類構(gòu)造性數(shù)學(xué)能夠取得全面的突破性的大進(jìn)展，誰又能保證直覺主義數(shù)學(xué)不會“卷土重來”？事實(shí)上，相信構(gòu)造性數(shù)學(xué)可能會獲得成功的人是始終存在的，且不說構(gòu)造主義者本身，非構(gòu)造主義者，如克林也相信：直覺主義地重建經(jīng)典數(shù)學(xué)的可能性還是存在的（〔7〕第55，551頁）。由此我們認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)依然是重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個可能的途徑。那種認(rèn)為直覺主義計劃已徹底破產(chǎn)的認(rèn)識是過于武斷的。

后期構(gòu)造主義者試圖建立一門與經(jīng)典數(shù)學(xué)平行的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，我們認(rèn)為這一計劃正在實(shí)現(xiàn)的過程中，近來構(gòu)造性數(shù)學(xué)成果的不斷涌現(xiàn)就是證明。構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義，不僅在于出現(xiàn)了一門新的理論、開創(chuàng)了一種新的研究方向，并獲得了許多新穎、深刻的成果，同時也在于構(gòu)造性的成果更便于應(yīng)用。提供解法畢竟比單純的存在性證明要有意義得多。由此可以說，構(gòu)造性數(shù)學(xué)彌補(bǔ)了經(jīng)典數(shù)學(xué)的不少缺陷。聯(lián)系到計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，這種構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究就更有其深遠(yuǎn)意義了。無怪胡世華教授說：“在非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究中，構(gòu)造性成分越多的部分往往對自身的發(fā)展也越有意義”。（〔8〕第268頁）

進(jìn)一步，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是否達(dá)到了它最初的確立數(shù)學(xué)可靠性的根本目的呢？由于數(shù)學(xué)的可靠性問題已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是一個單純的數(shù)學(xué)技術(shù)問題，更主要的是一個哲學(xué)問題，因此對這個問題的回答不可能有一個終極答案，對構(gòu)造主義者的回答人們也會仁者見仁，智者見智。故這里我們只是給出自己對這一問題的一些看法。我們認(rèn)為，在哲學(xué)上，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生提出了一個新的“可靠性”觀念。直覺主義者認(rèn)為，一切非構(gòu)造的存在，都是“超出一切人類的真實(shí)可行的‘絕對’，”正是因為相信了這樣一種“絕對”，經(jīng)典數(shù)學(xué)才“遠(yuǎn)遠(yuǎn)地不再是有真實(shí)意義的陳述句以及不再是建基于明證之上的真理了。”（〔7〕第50頁）為此，直覺主義者強(qiáng)調(diào)：存在必須是被構(gòu)造。認(rèn)為只有一步一步（有限的）構(gòu)造出來的東西才是真實(shí)的、有意義的、可靠的。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的“純存在”視為一種無異于形而上學(xué)的東西。黑丁就曾明確指出：“如果‘存在’不是意味著‘被構(gòu)造’，那就一定包含某種形而上學(xué)的意義。”（〔9〕第241頁）在黑丁看來，對這種具有形而上意義的存在去討論，或判定它是否可以接受，這不是數(shù)學(xué)的任務(wù)，認(rèn)為應(yīng)該“把數(shù)學(xué)當(dāng)作某種比形而上學(xué)簡單得多、直接得多的東西來研究”。為此，直覺主義才突出地強(qiáng)調(diào)應(yīng)從非構(gòu)造性向構(gòu)造性化歸。我們認(rèn)為，這是在從數(shù)學(xué)認(rèn)識論上提出了一種新的可靠性標(biāo)準(zhǔn)或觀念。這種標(biāo)準(zhǔn)或觀念從實(shí)用或操作的意義上講，是頗具合理性的，是應(yīng)該得到采納的，它對“信息時代的數(shù)學(xué)”（胡世華語）的發(fā)展是很有意義的。當(dāng)然，這也并不妨在經(jīng)典數(shù)學(xué)中人們有時（即不得已時）可以采用更靈活的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。但我們認(rèn)為，可構(gòu)造性是一個更可靠的可靠性標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家評判數(shù)學(xué)可靠性的第一標(biāo)準(zhǔn)或最高標(biāo)準(zhǔn)。至于第二、第三等更靈活、更弱的標(biāo)準(zhǔn)，不同的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家可能會有不同的選擇。那么何以見得可構(gòu)造性就是更強(qiáng)的可靠性標(biāo)準(zhǔn)呢？構(gòu)造性數(shù)學(xué)就真的比經(jīng)典數(shù)學(xué)更為可靠、更具可接受性嗎？我們認(rèn)為，答案應(yīng)該是肯定的。道理很簡單，就是因為構(gòu)造性數(shù)學(xué)的原則遠(yuǎn)較非構(gòu)造性數(shù)學(xué)嚴(yán)格，構(gòu)造性數(shù)學(xué)成立的每一定理對于非構(gòu)造性數(shù)學(xué)也成立；反之，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)中成立的定理卻不一定在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中成立。因此，構(gòu)造性數(shù)學(xué)實(shí)際上成了非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的一個真子集。另外，從邏輯基礎(chǔ)的角度講，直覺主義邏輯的公理和定理在經(jīng)典邏輯中都成立，反之卻不然。因此，直覺主義邏輯是經(jīng)典邏輯的一個真部分。我們認(rèn)為，這些理由完全可以表明，以構(gòu)造性為可靠性標(biāo)準(zhǔn)而建立的定理比經(jīng)典數(shù)學(xué)中的定理更可靠。

我國數(shù)學(xué)哲學(xué)界對構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)主張評價普遍較低，其原由不外乎這么幾點(diǎn)：1．直覺主義數(shù)學(xué)排斥了一大部分具有應(yīng)用價值的經(jīng)典數(shù)學(xué)。2．排斥了實(shí)無窮和經(jīng)典邏輯。3．與經(jīng)典數(shù)學(xué)相比，構(gòu)造性數(shù)學(xué)顯得繁瑣和復(fù)雜，對經(jīng)典數(shù)學(xué)的構(gòu)造性改造極為緩慢，難以成功（甚至認(rèn)為是不可能的）。我們認(rèn)為，這些并不構(gòu)成對構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)主張的否定。對此可以簡要地分析如下：首先，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一門全新的數(shù)學(xué)理論，它的邏輯基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)原則和哲學(xué)主張不可能完全等同于經(jīng)典數(shù)學(xué)。因此，我們必須正視構(gòu)造性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性。有什么理由說，選擇實(shí)無窮就是對的，而選擇潛無窮就是錯的？又有什么理由說，選擇經(jīng)典邏輯就是科學(xué)的，選擇構(gòu)造性邏輯就是不科學(xué)的？我們沒有超越實(shí)無窮和潛無窮的“絕對無窮觀”，也沒有超越經(jīng)典邏輯和構(gòu)造邏輯的“絕對邏輯”，我們沒有終極的絕對的參照系。實(shí)際上，反對潛無窮只能是站在實(shí)無窮的立場上，反對構(gòu)造性邏輯也只能是站在經(jīng)典邏輯的立場上。但反過來也是可以的。因此，我們最后判別是非的立足點(diǎn)只能是實(shí)踐——數(shù)學(xué)的內(nèi)部實(shí)踐和外部實(shí)踐。不管是實(shí)無窮、潛無窮，也不管是經(jīng)典邏輯、構(gòu)造邏輯，只要以它們?yōu)榛A(chǔ)能夠建立起自相容的理論，并能夠得到有效的應(yīng)用，那么我們就要承認(rèn)它們。說構(gòu)造性數(shù)學(xué)顯得繁瑣和復(fù)雜，這也不是絕對的，如復(fù)分析中對畢卡大定理的構(gòu)造性證明就顯得更為直觀，它的非構(gòu)造性證明雖然較短，但卻利用了一種稱為橢圓模函數(shù)的較高深的數(shù)學(xué)工具，后來雖然也有了幾種淺顯的證明方法，可又都非常繁復(fù)，而相應(yīng)的構(gòu)造性證明卻要更加自然，只用到了解析函數(shù)的基本性質(zhì)。說構(gòu)造性數(shù)學(xué)進(jìn)展緩慢、難以成功，這并不意味著構(gòu)造性數(shù)學(xué)不能成功。何況它在內(nèi)容上的復(fù)雜和進(jìn)展上的緩慢是有原因的：每一個構(gòu)造性證明都比純存在性證明為我們提供了更多更實(shí)用的信息。因此我們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)的復(fù)雜和緩慢看作是為了獲得更多更實(shí)用的信息所必須付出的代價。應(yīng)該承認(rèn)，這種代價的付出是值得的。至于說到直覺主義數(shù)學(xué)排斥了一部分有價值的經(jīng)典數(shù)學(xué)，我們說這并非直覺主義數(shù)學(xué)的過錯，因為對部分經(jīng)典數(shù)學(xué)的排斥并非邏輯地注定了的，誰又能保證這不是由于對經(jīng)典數(shù)學(xué)的構(gòu)造性改造太慢而造成的呢？如果是這樣，今天被排斥的東西到明天就不會再排斥。如果排斥是必然的，則正說明構(gòu)造性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性，說明數(shù)學(xué)具有構(gòu)造性和非構(gòu)造性兩個不同側(cè)面，說明這兩種數(shù)學(xué)確實(shí)存在不可化歸的關(guān)系。

也許會有許多人說，他們反對的只是直覺主義的哲學(xué)主張。在我們看來，直覺主義哲學(xué)除了它所主張的潛無窮觀和構(gòu)造性邏輯外，就是這么兩點(diǎn)：一、存在必須被構(gòu)造；二、原始直覺是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。關(guān)于潛無窮觀和構(gòu)造性邏輯前面剛剛談過，不再重復(fù)。一些人對直覺主義者把可構(gòu)造性作為數(shù)學(xué)理論可靠性的標(biāo)準(zhǔn)表示反對，前面我們也進(jìn)行了反駁，并指出了可構(gòu)造性是更強(qiáng)、更可靠的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。至于提到“原始直覺是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”這一哲學(xué)主張，我們認(rèn)為首先應(yīng)該區(qū)別它的兩種不同涵義：一是從數(shù)學(xué)發(fā)生學(xué)的角度講，數(shù)學(xué)是產(chǎn)生于人類的原始直覺，原始直覺是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。二是從數(shù)學(xué)認(rèn)識論的角度講，數(shù)學(xué)的可靠性根源于人類的原始直覺，原始直覺是保證數(shù)學(xué)可靠性的基礎(chǔ)。我們認(rèn)為，直覺主義者在講“原如直覺是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”時，包括了上述兩層意思。不過我們認(rèn)為，上述兩層意思中，前者是可接受的（對此我們將另文專論），后者是錯誤的。原因正如波普爾所說：相信知識在發(fā)生學(xué)或心理學(xué)上是先驗的，這是對的；但認(rèn)為知識都能先驗地正確，就大錯特錯了。源于人的直覺的數(shù)學(xué)，如果沒有被邏輯地構(gòu)造與證明，它就沒有獲得必要的可靠性。但聯(lián)想到直覺主義者隨時都在強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性，因此他們在哲學(xué)上的一些錯誤并不會影響到其數(shù)學(xué)的可靠性。說直覺主義哲學(xué)大體上是可接受的，還有一個有力的理由，即在這種哲學(xué)主張的基礎(chǔ)上而建立起的直覺主義數(shù)學(xué)，并未象經(jīng)典數(shù)學(xué)那樣一再地發(fā)生危機(jī)——出現(xiàn)悖論，它是自相容的。

美籍華人王浩先生曾認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是做的數(shù)學(xué)，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是在的數(shù)學(xué)。對此，我國著名數(shù)學(xué)家胡世華先生給予了如下的解釋和進(jìn)一步的發(fā)揮：“數(shù)學(xué)的在是信息模式和結(jié)構(gòu)的在；數(shù)學(xué)的做是信息加工。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是用數(shù)學(xué)取得的結(jié)果把結(jié)果構(gòu)造出來，側(cè)重于思維的構(gòu)造性實(shí)踐，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是數(shù)學(xué)地理解問題和規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)理論體系，追求科學(xué)思想”。（〔8〕第267頁）我們認(rèn)為，這些看法是比較客觀的。但應(yīng)進(jìn)一步指明的是，構(gòu)造性數(shù)學(xué)并非像許多人認(rèn)為的那樣，總是直接因襲標(biāo)準(zhǔn)的非構(gòu)造性數(shù)學(xué)。事實(shí)上，構(gòu)造性數(shù)學(xué)不是命中注定永遠(yuǎn)要靠坐吃經(jīng)典數(shù)學(xué)這個老板來發(fā)展。這兩類數(shù)學(xué)的關(guān)系是共生性，而非寄生性的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的發(fā)展還不足百年，相信它在未來的發(fā)展中，會有一個又一個的重大突破。當(dāng)然這已是后話了。

參考文獻(xiàn)

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篇(5)

一、服務(wù)專業(yè)需求，整合教學(xué)內(nèi)容

高職數(shù)學(xué)教學(xué)必須緊貼專業(yè)需要，以“必需夠用”為度。高職數(shù)學(xué)教師基本是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的，對數(shù)學(xué)理論游刃有余，但對數(shù)學(xué)應(yīng)用特別是專業(yè)方面的應(yīng)用則無從入手，在實(shí)際教學(xué)中教師往往更注重理論的系統(tǒng)完整性， 而忽視其應(yīng)用性。這些都背離了高職教育的培養(yǎng)目標(biāo)， 制約著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，影響著高職數(shù)學(xué)課程的生命力。為此，我們把數(shù)學(xué)教師劃分到各系的相關(guān)專業(yè)中去，深入調(diào)研后決定專業(yè)需要數(shù)學(xué)知識的范圍及類型。精選經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容，引進(jìn)不同專業(yè)新的科技成果，克服教材教學(xué)內(nèi)容的局限性和不適應(yīng)性，有利于高職數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)的開展與實(shí)施。我們將高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)實(shí)驗、數(shù)學(xué)建模整合成計算機(jī)數(shù)學(xué)；將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、線性規(guī)劃、概率統(tǒng)計數(shù)學(xué)實(shí)驗、數(shù)學(xué)建模整合成新的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)實(shí)驗、數(shù)學(xué)建模整合成新的建工數(shù)學(xué)等，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展, 學(xué)科的互相滲透、溶合、轉(zhuǎn)化是必然之勢, 這樣從課程體系上實(shí)現(xiàn)了符合學(xué)科發(fā)展的轉(zhuǎn)化, 從而使高職數(shù)學(xué)課程更具有生命力。

二、加強(qiáng)概念教學(xué)，服務(wù)專業(yè)應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念理解的程度直接關(guān)系到學(xué)生對專業(yè)問題的認(rèn)識和理解。一般教材在完成了數(shù)學(xué)概念的定義后,而立即轉(zhuǎn)入運(yùn)算工作,這種方法導(dǎo)致學(xué)生對運(yùn)算十分熟練,但在專業(yè)課上需要用某個數(shù)學(xué)概念去描述這一專業(yè)概念時,學(xué)生卻一片茫然。可見,數(shù)學(xué)概念教學(xué)對于數(shù)學(xué)為專業(yè)服務(wù)是至關(guān)重要的。

1、 展示概念背景,重視概念的引入

數(shù)學(xué)概念無論是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來,還是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象才產(chǎn)生發(fā)展得來的,均來自實(shí)際問題的需要。所以,在進(jìn)行概念教學(xué)時,既要善于靈活地從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度提出，也要從學(xué)生所學(xué)的專業(yè)內(nèi)容引入，盡可能地選取接近其專業(yè)問題作為概念教學(xué)的引例，以改變過去那種僅僅以數(shù)學(xué)自身的需要去闡述概念的教學(xué)體系。 在講授導(dǎo)數(shù)概念時， 除了舉出書本上變化率問題中介紹的變速直線運(yùn)動的速度外， 還可介紹一些與專業(yè)有關(guān)的變化率問題，在經(jīng)貿(mào)專業(yè)可介紹產(chǎn)品總量對時間的導(dǎo)數(shù)就是總產(chǎn)量的變化率，產(chǎn)品總成本對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)就是產(chǎn)品總成本的變化率（邊際成本）；在制藥專業(yè)授課時可介紹身體對藥物的敏感度。

2、引進(jìn)專業(yè)模型,強(qiáng)化概念的運(yùn)用

在完成了數(shù)學(xué)概念的定義后，學(xué)生理解了概念不一定就能真正掌握它,只有反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生對該概念在專業(yè)實(shí)用性上的認(rèn)識,才能鞏固深化對概念的理解。實(shí)現(xiàn)這一要求,需要數(shù)學(xué)教師在教學(xué)準(zhǔn)備階段積極求教于專業(yè)教師,請他們提供專業(yè)課上所用的數(shù)學(xué)知識點(diǎn),弄清數(shù)學(xué)在專業(yè)上的應(yīng)用情況,將相關(guān)的專業(yè)模型引到數(shù)學(xué)課來,突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，拉近數(shù)學(xué)與專業(yè)的距離。比如在工科專業(yè)講了導(dǎo)數(shù)概念及計算后，可以結(jié)合電子電路課程的感應(yīng)電動勢、磁場的變化率等來加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)概念在專業(yè)實(shí)用性上的認(rèn)識。

三、滲透數(shù)學(xué)建模思想，服務(wù)學(xué)生實(shí)踐能力的掌握

掌握知識、積累知識固然十分重要，但惟有在知識的學(xué)習(xí)過程中所受到的思想、方法的啟發(fā)和體驗，才是今后事業(yè)獲得成功的關(guān)鍵，才是知識的真正價值所在。高職數(shù)學(xué)教育的目的不僅是為學(xué)習(xí)專業(yè)課打基礎(chǔ)，更要重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣、能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周圍的事物，用數(shù)學(xué)的思維方法創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題。將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入高職數(shù)學(xué)課程教學(xué),加強(qiáng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和實(shí)踐能力。

數(shù)學(xué)實(shí)驗的興起、數(shù)學(xué)軟件功能的強(qiáng)大、現(xiàn)代教育技術(shù)和計算機(jī)多媒體的使用，為將數(shù)學(xué)建模思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)中，提供了有利的條件。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用能力共同提高的最佳結(jié)合點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和接受不斷涌現(xiàn)的新概念、新思想和新方法，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的實(shí)踐能力。在講授函數(shù)最值時，可結(jié)合工程建設(shè)、生態(tài)、醫(yī)藥、保險等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)嵗辉谥v授微分方程時，可結(jié)合人口增長模型、傳染病模型等實(shí)例講解。

四、加強(qiáng)課堂教學(xué)改革，服務(wù)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

課堂教學(xué)著重探索知識產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想，再現(xiàn)歷史研究過程，使學(xué)生從中受到創(chuàng)新思維的熏陶，把隱藏在書本背后的問題的實(shí)質(zhì)和方法挖掘出來傳授給學(xué)生，從而授給學(xué)生崇尚數(shù)學(xué)的理性精神和訓(xùn)練創(chuàng)新意識。充分揭示和展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生的原始過程.在人類文化遺產(chǎn)的寶庫中,最為珍貴的就是這些科學(xué)大師們的思想脈絡(luò)以及他們創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)知識的原始過程.具體地講,在教學(xué)工作中,教師應(yīng)把主要精力放在兩個問題上:一是知識點(diǎn)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史過程及其歷史地位；二是科學(xué)大師們在創(chuàng)造這些知識時的心智過程,即闡明科學(xué)發(fā)現(xiàn)的原始過程.在教學(xué)中要營造吸引學(xué)生參與、研究和發(fā)現(xiàn)知識的教學(xué)氛圍。教師應(yīng)自始至終引導(dǎo)學(xué)生參加到知識的研究和發(fā)現(xiàn)的全過程中去,培養(yǎng)他們開拓新局面的思想和主動精神.

創(chuàng)造民主和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，質(zhì)疑中孕育創(chuàng)新。教育家羅杰指出：“有利于創(chuàng)造活動的一般條件是心理的安全和心理的自由。”教學(xué)中，教師不以傳授者自居，而是創(chuàng)造一種寬松的環(huán)境氣氛，鼓勵學(xué)生自由爭辯、大膽質(zhì)疑。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一個重要方面是讓學(xué)生會思考會提問題，于無疑處見有疑。教育學(xué)生既勇于放棄自己不成熟的想法，又敢于堅持自己合理的見解，在這個過程中學(xué)生既會感受到堅持真理、修正錯誤、實(shí)事求是的科學(xué)精神，又會感受到謙虛謹(jǐn)慎、和而不同、互相尊重的人文精神。

實(shí)施開放式教學(xué)，創(chuàng)設(shè)進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的情景。開放式教學(xué)概念是日本在20

世紀(jì)70 年代以后提出的，它是一種旨在創(chuàng)造一個有利于學(xué)生生動活潑和主動發(fā)展的教育環(huán)境，提供給學(xué)生充分發(fā)展的時間與空間的全面開放的數(shù)學(xué)教學(xué)形式。它包括時空的開放和內(nèi)容的開放兩個層面。時空開放是基礎(chǔ)層面，是指數(shù)學(xué)教學(xué)時間和空間上要從課堂內(nèi)延伸到課堂外，讓學(xué)生在生產(chǎn)和生活的實(shí)踐中去學(xué)習(xí)。內(nèi)容開放是實(shí)質(zhì)性層面，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意引進(jìn)利于學(xué)生發(fā)散型思維能力培養(yǎng)的開放性教學(xué)內(nèi)容。

五、圍繞人才培養(yǎng)目標(biāo)，服務(wù)學(xué)生教育

高職教育培養(yǎng)學(xué)生的目的不僅是從事某一職業(yè)所必不可少的知識和技能，更重要的是具有高尚的情操、健全的人格、完美的道德、強(qiáng)烈的社會責(zé)任感和遠(yuǎn)大的眼光，在于造就全面的人，這是時代賦予我們的責(zé)任。作為一名高職教師，應(yīng)該增強(qiáng)為學(xué)生服務(wù)的意識，轉(zhuǎn)變教育觀念，將學(xué)生的思想教育滲透和融合在教學(xué)中，為學(xué)生架設(shè)一個知識成長和精神成人的平臺，在這個平臺不僅教會學(xué)生采掘科學(xué)知識、掌握技能，而且要擷取思想的精華；不僅教會學(xué)生如何做事，更要教會學(xué)生怎樣做人。

篇(6)

[關(guān)鍵詞] 教育理念 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)策略

高等數(shù)學(xué)作為高職教育中大部分專業(yè)的基礎(chǔ)性或服務(wù)性課程，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)工具的掌握以及后繼課程的學(xué)習(xí)起重要作用，其教學(xué)質(zhì)量關(guān)乎學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展。從系統(tǒng)科學(xué)的觀點(diǎn)看，教學(xué)過程就是教與學(xué)之間信息傳遞與反饋的控制過程。信息傳遞過程中信息的組織形式、傳遞模式直接影響著信息接收的有效性[1]。目前，高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，我們必須及時轉(zhuǎn)變教育理念，緊緊圍繞教學(xué)目的，加強(qiáng)教學(xué)法研究，改革高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式和教學(xué)手段，營造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解決實(shí)際問題能力和創(chuàng)新能力。

1.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容

1.1教學(xué)內(nèi)容分析

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容可分為四個層次：概念層次、原理層次、擴(kuò)展層次和應(yīng)用層次。

概念層次是指高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中最原始、最基本的概念。如，極限、導(dǎo)數(shù)、原函數(shù)、定積分、不定積分、行列式、矩陣、概率等。這些概念是數(shù)學(xué)思想的精華，是形成數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。正確理解這些數(shù)學(xué)概念對學(xué)好數(shù)學(xué)、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想起著關(guān)鍵作用。

原理層次是指由基本概念導(dǎo)出的性質(zhì)及原始定理等。如，積分的性質(zhì)、運(yùn)算法則、牛頓萊布尼茨公式等。理解這些性質(zhì)和運(yùn)算公式的推導(dǎo)，決定著對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，為抽象符號系統(tǒng)下進(jìn)行推理證明的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

擴(kuò)展層次是指由性質(zhì)、原始定理導(dǎo)出的定理和結(jié)論等。如微分學(xué)中的夾逼定理、介值定理、極值判別法等，這部分定理和結(jié)論需要運(yùn)用上一層的定理和結(jié)論進(jìn)行證明，抽象性更強(qiáng)，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。掌握這部分內(nèi)容對擴(kuò)展數(shù)學(xué)視野、促進(jìn)邏輯推理思維起著極為重要的作用，是學(xué)會學(xué)習(xí)的重要階段。

應(yīng)用層次是指對數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、原理、定理等的具體應(yīng)用，可分為公式的、原理的、實(shí)際的三大類。

1.2優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)內(nèi)容的針對性、應(yīng)用性

1.2.1認(rèn)真把握教材的選擇

高等數(shù)學(xué)作為高職教育中大部分專業(yè)的基礎(chǔ)性或服務(wù)性課程，自高等職業(yè)教育產(chǎn)生以來就有別于普通的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，其教育目的是為學(xué)生的專業(yè)理論打基礎(chǔ)，為學(xué)生的專業(yè)實(shí)踐服務(wù)，其授課內(nèi)容要緊密結(jié)合學(xué)生所學(xué)的專業(yè)，所以要打破材、綱、案的約束，根據(jù)不同專業(yè)特點(diǎn)選用不同的教材、編寫不同的教學(xué)大綱和教案，從而在教學(xué)上既能突出基礎(chǔ)，又能加強(qiáng)針對性，體現(xiàn)應(yīng)用性。

1.2.2合理安排教學(xué)內(nèi)容

由于高職教育中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)時數(shù)較少，所以教學(xué)內(nèi)容的選取應(yīng)當(dāng)少而精，做到實(shí)用、夠用，定理的證明等可略講。另外，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容應(yīng)與專業(yè)相貼近，針對不同系別和專業(yè)的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和重點(diǎn)也應(yīng)有所不同，如計算機(jī)專業(yè)應(yīng)重點(diǎn)講述線性代數(shù)、圖論等內(nèi)容，經(jīng)貿(mào)類專業(yè)應(yīng)重點(diǎn)講述微積分理論包括需求彈性、價格彈性等內(nèi)容，經(jīng)濟(jì)學(xué)類專業(yè)應(yīng)重點(diǎn)講述概率論與數(shù)理統(tǒng)計等內(nèi)容。

2.高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)

2.1課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)分析

一個完整的教學(xué)內(nèi)容，盡管教學(xué)方式和方法是多種多樣的，但在整體結(jié)構(gòu)上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程呈現(xiàn)一定的結(jié)構(gòu)性，可以概括為：（1）提出問題，了解背景；（2）抽象概括，獲得方法；（3）演示范例，鞏固概念；（4）探討實(shí)質(zhì)，擴(kuò)展結(jié)論。提出問題、抽象概括、演示范例、探討實(shí)質(zhì)體現(xiàn)的是“教”的順序結(jié)構(gòu)，了解背景、獲得方法、鞏固概念、擴(kuò)展結(jié)論體現(xiàn)的是“學(xué)”的過程.數(shù)學(xué)的“教”和“學(xué)”的過程正是在這樣的結(jié)構(gòu)中逐層深入、循環(huán)擴(kuò)展、不斷豐富的。

2.2教學(xué)內(nèi)容各層次教學(xué)

2.2.1概念層次的教學(xué)

學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論告訴我們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是一個數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，其實(shí)質(zhì)是一個數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，這個過程是通過同化和順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的[2]。學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是在其認(rèn)識新知識的過程中，伴隨著同化和順應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷再構(gòu)建的過程，是在新水平上對原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行延伸、改組而成的新系統(tǒng)。

2.2.2原理層次的教學(xué)

數(shù)學(xué)原理是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的精華，是數(shù)學(xué)思想與方法的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)原理的教學(xué)大致可分為兩大類：第一類是利用概念定義導(dǎo)出的運(yùn)算法則和某些性質(zhì)等。這一部分的教學(xué)要注重定義式的使用，注重板書過程教學(xué)，使學(xué)生通過板書過程進(jìn)行思維、認(rèn)識推理、形成印象、感悟方法。第二類是數(shù)學(xué)中的重要定理。這一部分是數(shù)學(xué)理論核心，是數(shù)學(xué)思想的集中體現(xiàn)，在教學(xué)中要對定理所表達(dá)的內(nèi)容進(jìn)行充分的解釋，運(yùn)用與內(nèi)容有關(guān)的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生獲得感性認(rèn)識，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)思想上的提升。

2.2.3擴(kuò)展層次的教學(xué)

擴(kuò)展層次是利用已知結(jié)論推證另一結(jié)論，屬于廣義抽象的范疇，如用零值定理證明介值定理、用柯西中值定理證明洛必達(dá)法則等。要證明某個結(jié)論，就要利用已知正確的結(jié)論，經(jīng)過合乎邏輯的推理導(dǎo)出要證的結(jié)論。正確的概念、準(zhǔn)確的符號表達(dá)、演繹推理三段論的正確使用是進(jìn)行正確推理的基本要素。因此，在教學(xué)中要注重概念的準(zhǔn)確使用和推理過程的符號表達(dá)。

2.2.4應(yīng)用層次的教學(xué)

應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，大體分為公式的、原理的、實(shí)際的三類，每一類訓(xùn)練的重點(diǎn)是不同的。不管是哪一類的應(yīng)用，都有一個從低級到高級的漸進(jìn)過程，可分為四個階梯：直接的、變式的、探討的、綜合的。在教學(xué)過程中，要根據(jù)不同梯次的特點(diǎn)，選擇適合內(nèi)容的教學(xué)方法，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

3.改進(jìn)教學(xué)方法

3.1運(yùn)用“對比法”教學(xué)

用對比的方式來剖析高等數(shù)學(xué)中的概念，提高教學(xué)效果，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。此外，在教學(xué)中還可以通過對新舊知識的對比、正確與錯誤的對比、公式間的對比、不同解題方法之間的對比等方法，提高教學(xué)效果。

3.2重視“直觀式”教學(xué)

高職數(shù)學(xué)教學(xué)以應(yīng)用為目的，以夠用為度，教師應(yīng)盡量運(yùn)用猜想、畫圖、類比等直觀性教學(xué)法，將高等數(shù)學(xué)抽象的理論直觀化、簡單化，讓學(xué)生易于理解和接受。

3.3加強(qiáng)“應(yīng)用性”教學(xué)

在教學(xué)中，讓學(xué)生更多地了解數(shù)學(xué)在他們專業(yè)課當(dāng)中的作用，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)可以解決他們的專業(yè)問題。如，在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中，經(jīng)濟(jì)管理類的學(xué)生要以介紹邊際的概念與例子，而機(jī)電類專業(yè)可以介紹速率、線密度等的概念與例子。

4.更新教學(xué)手段

除了運(yùn)用傳統(tǒng)的教學(xué)手段外，應(yīng)有選擇地運(yùn)用多媒體教學(xué)，通過直觀、形象的多媒體教學(xué)可以使學(xué)生在有限時間內(nèi)迅速理解、掌握、獲取更多知識和信息。此外，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)充分發(fā)揮教學(xué)網(wǎng)站的計算機(jī)輔助教學(xué)手段，教師可以在教學(xué)網(wǎng)站這個平臺上展示高等數(shù)學(xué)與各個專業(yè)的聯(lián)系及各種教學(xué)素材（教學(xué)課件、習(xí)題解答等），增加師生交流與溝通。

總之，無論是改進(jìn)教學(xué)方法，還是更新教學(xué)手段，其最終目的都是為了使授課結(jié)果滿足學(xué)生的合理需求。要做到授課結(jié)果切實(shí)滿足學(xué)生合理的需求，需要關(guān)注學(xué)生的不同需求，采用靈活的教學(xué)形式，使學(xué)生通過教師的講授、討論，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，提高自信心、主動性和分析思考能力；需要打破傳統(tǒng)教法瓶頸，開拓教學(xué)方法新路，讓教師“變主動為被動”，讓學(xué)生“變被動為主動”[3]。從而真正達(dá)到提高高職數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，服務(wù)于高職教育的教學(xué)目標(biāo)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]高志亮.系統(tǒng)工程方法論[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社.2004：12.

篇(7)

【關(guān)鍵詞】過程數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教育不等同于傳授數(shù)學(xué)知識，它不僅給學(xué)生提供了一種科學(xué)語言、一門知識，更應(yīng)當(dāng)是一種思想方法，是陶冶情操、訓(xùn)練心智的一種工具。數(shù)學(xué)學(xué)者何良仆曾經(jīng)說過：數(shù)學(xué)教育中重要的問題，不是教什么題材，而是教給學(xué)生更珍貴的東西——如何掌握題材。也就是說，數(shù)學(xué)教育中的價值不在于掌握數(shù)學(xué)知識，主要在于“數(shù)學(xué)過程”。

一、對“數(shù)學(xué)過程”的認(rèn)識

“數(shù)學(xué)過程”是一個有關(guān)數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)教育的核心概念。它主要是對一系列思維活動過程的概括，即：數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程；數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程；數(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過程，其本質(zhì)是以“抽象——符號變換——應(yīng)用”為核心的思維過程。即數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實(shí)生活并用于現(xiàn)實(shí)生活這一根本，從最原始模糊而籠統(tǒng)的印象，豐富多彩的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴(yán)格的邏輯演繹推理，進(jìn)而在解決問題中加以應(yīng)用，這就是數(shù)學(xué)過程數(shù)學(xué)過程是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的最基本、最有效的方法。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個通過長期系統(tǒng)數(shù)學(xué)活動來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號感、邏輯性、空間觀念、統(tǒng)計觀念以及應(yīng)用意識與推理能力的過程，它培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、科學(xué)方法、科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣、能力以及探究精神、創(chuàng)造精神和協(xié)作精神，使學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)學(xué)過程”的磨礪，在知識、智力、品質(zhì)、情感、態(tài)度和價值觀等方面得到全面發(fā)展，成為適應(yīng)社會進(jìn)步的高素質(zhì)人才。

二、教學(xué)中無“數(shù)學(xué)過程”教學(xué)的原因及弊端

如果學(xué)數(shù)學(xué)知識只為懂得某一知識的結(jié)論，而不了解事物發(fā)生、發(fā)展變化的過程，這樣的知識是殘缺不全的、是靜止的、孤立的知識。“數(shù)學(xué)過程”是數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，是嚴(yán)密數(shù)學(xué)思維的必要環(huán)節(jié)，是知識內(nèi)化、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的關(guān)鍵元素。只有掌握“過程”才能將各部分的知識融為一體，舉一反三，使學(xué)生的解題能力大大提高。

“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的知識。”數(shù)學(xué)的很多概念都蘊(yùn)含了樸素的數(shù)學(xué)思想，基本上都來源于學(xué)生的生活經(jīng)驗。應(yīng)該說，學(xué)生認(rèn)識這些樸素的思想應(yīng)該很容易，可事實(shí)上學(xué)生學(xué)習(xí)“課本上的數(shù)學(xué)”很困難。主要原因在于數(shù)學(xué)的學(xué)科定義高度抽象、概括，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過程，它所呈現(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學(xué)如果從這些“冰冷”的形式開始，學(xué)生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學(xué)思考過程，直接學(xué)習(xí)現(xiàn)成的結(jié)論也不符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平

在有關(guān)概念、定理、法則教學(xué)時，有些教師似乎很少關(guān)注隱藏在其背后的豐富的數(shù)學(xué)過程知識，為了考試，知識體系被簡單地肢解為一個個的知識點(diǎn)，強(qiáng)化題型覆蓋知識的作用，注重結(jié)論的使用和各種操作步驟記憶，用機(jī)械記憶和反復(fù)強(qiáng)化的方法進(jìn)行以落實(shí)知識點(diǎn)為目的的訓(xùn)練，這樣我們的數(shù)學(xué)課堂成了解題教學(xué)，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣、態(tài)度、價值觀等心理傾向得不到相應(yīng)的發(fā)展。如果你認(rèn)真觀察比較教師發(fā)給學(xué)生的數(shù)學(xué)習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)學(xué)題不只十分樣板，各學(xué)校所提供的數(shù)學(xué)題相當(dāng)劃一。原因顯然是緊扣考試，于是不同老師給學(xué)生的數(shù)學(xué)題都十分類似，對于考試的試題，我們看到學(xué)生經(jīng)年累月身處沒有多大變化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗空間，不難想象他們漸漸會形成機(jī)械化的數(shù)學(xué)觀，也會逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

究其原因主要有兩點(diǎn)：一是教者缺少追問學(xué)科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學(xué)生的思維特點(diǎn)與已有的知識經(jīng)驗儲備。對于前者，我們強(qiáng)調(diào)教師追問為什么學(xué)習(xí)這些內(nèi)容、所學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括學(xué)生的生活概念、學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點(diǎn)及學(xué)生已有的知識儲備。當(dāng)教師對這兩個根源有深入的思考后就能設(shè)計出有過程的教學(xué)。

三、注重“數(shù)學(xué)過程”教學(xué)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)

要能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，教學(xué)中必須設(shè)計有過程的教學(xué)，這就要求我們的教師備課時關(guān)注數(shù)學(xué)概念形成、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源和原始動力，關(guān)注學(xué)生樸素的問題與思維過程，關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，利用思維沖突、質(zhì)疑與障礙使學(xué)生獲得高水平理解力。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望與動機(jī)，體會到創(chuàng)造的樂趣。

注重培養(yǎng)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學(xué)生在自主參與、合作探究中拓展實(shí)踐思路，不斷享受成功的體驗，感受創(chuàng)造過程中的無限樂趣。比如在等差數(shù)列前n項公式中提出1+2+3+…+100=?讓學(xué)生去探索為什么高斯用(1+100)×100/2式子計算，從而真正理解等差數(shù)列前n項和公式的由來，注重這個“數(shù)學(xué)過程”，學(xué)生即使忘記公式，他也能推算出等差數(shù)列求和結(jié)論。