序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇參數(shù)方程范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

一、探求幾何最值問題

有時(shí)在求多元函數(shù)的幾何最值有困難，我們不妨采用參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。

例1（1984年考題）在ABC中，∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為ABC的內(nèi)切圓的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

解由，運(yùn)用正弦定理，可得：

sinA·cosA=sinB·cosB

sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

A+B=，則ABC為直角三角形。

又C=10,，可得：

a=6,b=8,r=2

如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

所以圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2過拋物線（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)0＜θ＜π，當(dāng)θ取什么值時(shí)，｜AB｜取最小值。

解拋物線（t為參數(shù)）

的普通方程為=2px，其焦點(diǎn)為。

設(shè)直線l的參數(shù)方程為：

（θ為參數(shù)）

代入拋物線方程＝2px得：

又0＜θ＜π

當(dāng)θ=時(shí)，｜AB｜取最小值2p。

二、解析幾何中證明型問題

運(yùn)用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能簡捷地解決有關(guān)與過定點(diǎn)的直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離有關(guān)的問題。

例3在雙曲線中，右準(zhǔn)線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。

證明設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，

A點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)。

又，設(shè)AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數(shù)方程依次為：

將①、②代入雙曲線方程，化簡得：

同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)引一直線和雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，又過一焦點(diǎn)F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

證明由已知可得。設(shè)直線AB的傾角為α，則直線AB

的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）

代入，可得：

據(jù)題設(shè)得直線CD方程為（t為參數(shù)）

代入，得：，從而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析幾何定值型問題

在解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，有二個(gè)變?cè)粲脜?shù)方程則只有一個(gè)變?cè)瑒t對(duì)于有定值和最值時(shí)，參數(shù)法顯然比較簡單。

例5從橢圓上任一點(diǎn)向短軸的兩端點(diǎn)分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

解化方程為參數(shù)方程：

（θ為參數(shù)）

設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，則P(3cosθ,2sinθ)。

于是，直線BP的方程為：

直線的方程為：

令y=0代入BP,的方程，分別得它們?cè)趚軸上的截距為和。

故截距之積為：（）·（）=9。

四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題

例6如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點(diǎn)，試求m、n滿足

的條件。

分析如果本題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解，極易導(dǎo)致錯(cuò)誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因。若運(yùn)用參數(shù)方程來解，則可“輕車熟路”，直達(dá)解題終點(diǎn)。

解設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

拋物線的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）

因它們相交，從而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

篇(2)

一、已知分式方程無解求參數(shù)的值

類型一分式方程化為整式方程后未知數(shù)的系數(shù)不含參數(shù)

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有參數(shù)的分式方程無解問題，首先應(yīng)將分式方程化為整式方程.對(duì)于化去分母的整式方程，如果未知數(shù)的系數(shù)不含參數(shù)，可先求出整式方程的解，接著再令分式方程的最簡公分母等于零，求出原分式方程的增根，然后令整式方程的解等于原分式方程的增根，這樣會(huì)得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的一元一次方程，最后解這個(gè)一元一次方程，即可求出參數(shù)的值.

類型二分式方程化為整式方程后未知數(shù)的系數(shù)含有參數(shù)

a的值是1或2.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有參數(shù)的分式方程無解問題，將分式方程化成最簡整式方程ax=b后，如果未知數(shù)的系數(shù)a含有參數(shù)，在求這個(gè)整式方程的解時(shí)，需要對(duì)這個(gè)整式方程的系數(shù)進(jìn)行討論.當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，最簡整式方程ax=b無解，此時(shí)原分式方程也無解；當(dāng)a≠0時(shí)，可先求出最簡整式方程的解，然后再仿照未知數(shù)的系數(shù)不含參數(shù)的情形求解.

從上面也可以看出，分式方程無解一般有兩種情況：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解.

篇(3)

關(guān)鍵詞： 極坐標(biāo) 參數(shù)方程 高考題

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的內(nèi)容一起出現(xiàn)在新課標(biāo)選修4-4中，因此在高考數(shù)學(xué)的考查過程中對(duì)這一部分內(nèi)容的考查也多以綜合交叉題目的形式出現(xiàn).本文通過這部分內(nèi)容在高考中考查的形式，并結(jié)合具體的例子，為師生的教和學(xué)提供參考.

1.關(guān)于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的考點(diǎn)

首先，對(duì)于極坐標(biāo)而言，高考對(duì)這一部分內(nèi)容的要求是能用極坐標(biāo)準(zhǔn)確地表示出極坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置，并且區(qū)別它與平面直角坐標(biāo)系中所表示的點(diǎn)的位置和實(shí)現(xiàn)兩者之間的互化.在與參數(shù)方程結(jié)合在一起時(shí)，要求同學(xué)們能用方程表示出極坐標(biāo)系中所給出的簡單圖形，通過將此類圖形在平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中的方程的比較，理解當(dāng)平面圖形用方程表示時(shí)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的意義.

其次，關(guān)于參數(shù)方程方面，我們要理解參數(shù)方程和參數(shù)的意義，對(duì)于直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程要能用適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出來，對(duì)于簡單的相關(guān)問題要能夠用直線的參數(shù)方程解決，能理解和運(yùn)用直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義.

2.高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查

通過對(duì)近年高考試題的回顧和分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，近些年高考中對(duì)于這部分內(nèi)容的考要是以解答題的形式出現(xiàn)的，試題難度相對(duì)比較簡單，得分是比較容易的.在2009年的高考試題中將極坐標(biāo)、直線與圓的位置關(guān)系、不等式思想等結(jié)合在一起考查；2010年也對(duì)極坐標(biāo)方面的內(nèi)容進(jìn)行了考查，題中設(shè)計(jì)了直線和圓的位置關(guān)系，以及圓在極坐標(biāo)系中的三種方程問題，并在題中給出的圖形條件下求區(qū)域的面積.

在極坐標(biāo)方面從目前新課標(biāo)歷年高考試題中可以看出，高考對(duì)這一部分內(nèi)容的考查主要集中在極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系之間的互換、常見曲線在極坐標(biāo)系中的方程等內(nèi)容方面，對(duì)這方面的考查還是比較簡單的.在參數(shù)方程這一方面，高考對(duì)于此的考查主要集中在參數(shù)方程與普通方程之間的互化方面.所以對(duì)于后兩年高考在這方面的考查，筆者預(yù)測(cè)在難度和題型方面仍將保持穩(wěn)定，而且往往會(huì)使極坐標(biāo)和參數(shù)方程結(jié)合在一起考查的形式，這對(duì)于老師授課和學(xué)生學(xué)習(xí)方面都要引起重視.

3.例題剖析

4.極坐標(biāo)與參數(shù)方程的考點(diǎn)中應(yīng)該注意的問題

在這部分內(nèi)容中，近些年的高考試題主要考查的是極坐標(biāo)方程在圓和直線中的應(yīng)用，以及極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互換；在參數(shù)方程方面主要考查的是參數(shù)方程與普通方程之間的互化，用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程研究有關(guān)距離、交點(diǎn)和位置的問題等.

首先，在參數(shù)方程方面，我們一定要了解參數(shù)方程及其意義，其與普通方程之間的互化是一個(gè)重點(diǎn)，在參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的時(shí)候，我們常用的方法是代入法、三角恒等式消元法和加減消元法等方法，在使用過程中一定要注意同解變形.在寫直線、圓和圓錐曲線參數(shù)方程時(shí)，學(xué)生一定要注意參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，因?yàn)閹缀我饬x在參數(shù)方程的解題中能為我們帶來方便.同學(xué)們一定要重視直線參數(shù)方程的幾何意義.

其次，在極坐標(biāo)內(nèi)容方面，我們要注意平面圖形在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換的作用下的變化狀況，同時(shí)還要注意將其與平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置相區(qū)別，并要能實(shí)現(xiàn)互化.在使用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)系互化公式的時(shí)候，我們要對(duì)它的使用條件予以注意，要符合以下要求：極軸與軸正向重合、極點(diǎn)與原點(diǎn)重合、取相同的單位長度.在解題過程中化繁為簡，化難為易是一個(gè)原則，在這個(gè)原則指導(dǎo)下，當(dāng)我們面臨極坐標(biāo)的有關(guān)試題時(shí)就要把他們轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系去解題，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)后者相對(duì)更熟悉，應(yīng)用起來更得心應(yīng)手.如果在做題過程中直接將問題在極坐標(biāo)系中解決，這時(shí)我們就要將其與三角形聯(lián)系起來，合理利用有關(guān)三角形方面的原理和公式.

5.復(fù)習(xí)與應(yīng)試建議

第一，由新課標(biāo)對(duì)于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的要求來看，這部分的要求內(nèi)容整體難度不大，學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)一定要遵循適度原則，緊扣大綱要求，不要深挖，打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和定理定式一定要認(rèn)真理解，熟悉掌握.第二，在變量換算上多放精力，減少低級(jí)錯(cuò)誤的出現(xiàn).因?yàn)樽兞繐Q算是很多學(xué)生普遍反應(yīng)的難點(diǎn)和弱點(diǎn)，所以教師在教學(xué)過程中要注意在這方面給予學(xué)生更多的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí).第三，該種題目類型在解題時(shí)往往有多種方法，學(xué)生要理清思路，弄清問題的本質(zhì)要點(diǎn)，梳理清楚解題程序，然后注意參數(shù)方程和普通方程之間的互換、直線與圓等要點(diǎn)問題的思考.第四，學(xué)生在答題過程中要注意規(guī)范，對(duì)于很多學(xué)生來講不是不會(huì)，而是不注意答題規(guī)范，因?yàn)楦呖几木硎橇魉倪^程，所以每一題老師在閱卷過程中花的時(shí)間很多，寫得規(guī)范清晰有利于老師迅速找出關(guān)鍵要點(diǎn)，這對(duì)于老師評(píng)分是一個(gè)不可忽視的要素.

綜上所述，在極坐標(biāo)和參數(shù)方程的學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中，學(xué)生首先要打好基礎(chǔ)，要能準(zhǔn)確和熟練地應(yīng)用基本的原理和公式，只要這樣才能保證在公式的運(yùn)用過程中不犯低級(jí)錯(cuò)誤.其次，把握解題思想，我們要樹立化繁為簡、化難為易、相互轉(zhuǎn)化的思想，只有在將題目轉(zhuǎn)化為所熟知的問題，我們解決起來才能得心應(yīng)手.

參考文獻(xiàn)：

[1]師增群.極坐標(biāo)與參數(shù)方程試題研究和應(yīng)試策略――以2013年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷第23題為例[J].當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究，2014（6）：69-71.

篇(4)

一、計(jì)算問題

利用直線參數(shù)方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數(shù)）中參數(shù)t的幾何意義解決與距離、弦長、線段長、點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的問題.

例1：已知直線l過點(diǎn)P（2，0），斜率為■，直線l和拋物線y■=2x相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求：（1）|PM|；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）設(shè)直線的傾斜角為α，依題意可得tanα=■，

sinα=■，cosα=■，

直線l的參數(shù)方程為x=2+■ty=■t（t為參數(shù)）（*）.

直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.設(shè)方程的兩個(gè)根為t■，t■，t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，得|PM|=|■| =■.

（2）中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t■=■=■，將此值代入直線的參數(shù)方程（*），

點(diǎn)M的坐標(biāo)為x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即為所求.

一般地，直線x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數(shù)）與曲線y=f（x）交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t■、t■，則線段|AB|的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=■.

由t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直線與二次曲線相交，用直線參數(shù)方程解題時(shí)，則有弦長為|t■-t■|；直線上的點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的距離和為|t■|+|t■|，距離涉及t的正負(fù)時(shí)要加以區(qū)分.

因?yàn)椋本€參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三角函數(shù)cosα，sinα（α是直線的傾斜角），所以，在解決直線與圓錐曲線有關(guān)問題時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、化歸的數(shù)學(xué)思想，達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，在解高考數(shù)學(xué)試題時(shí)也有用武之地.下面我們以高考題為例加以說明.

二、范圍問題

求參數(shù)的取值范圍，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，由于求參數(shù)范圍的方法眾多，如何選擇往往成為考生思考的難點(diǎn).如果選擇直線的參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的值域求解，則比較簡單.

例2（2008年高考福建卷理科第21題）：如圖，橢圓■+■=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有|OA|■+|OB|■

解：（Ⅰ）略，橢圓方程為■+■=1.

（Ⅱ）設(shè)直線AB的參數(shù)方程為x=1+tcosθy=tsinθ（t為參數(shù)），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

設(shè)上述方程的兩根為t■，t■，由韋達(dá)定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根據(jù)t的幾何意義，不妨設(shè)|FA|=t■，則|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又設(shè)A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

|OA|■+|OB|■

（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■

化簡得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■

1-■+■

■

顯然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■

即（a■+b■）sin■θ-a■b■

■>sin■θ恒成立，

sinθ∈[0，1]，

■>1，②

橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F（1，0），C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因?yàn)閍>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a■.

本例在解題中，充分發(fā)揮了直線參數(shù)方程在解題中的優(yōu)勢(shì)（參數(shù)的幾何意義、三角函數(shù)變換），由恒成立問題、三角函數(shù)的值域，巧妙地利用橢圓中a、b、c的關(guān)系實(shí)施轉(zhuǎn)化，得到了關(guān)于a的二次不等式使問題獲解，解題目標(biāo)明確，思路清晰，方法可行.

三、證明問題

例3（2013年全國理科高考卷第21題）：已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F■，F(xiàn)■，離心率為3，直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）設(shè)過F■的直線l與C的左、右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，且 |AF■|=|BF■|，證明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數(shù)列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，雙曲線方程為x■-■=1.

（Ⅱ）如圖，F(xiàn)■（3，0）

設(shè)過F■的直線為x=3+tcosκy=tsinα（t為參數(shù)）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

將直線參數(shù)方程代入雙曲線方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化簡得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韋達(dá)定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

篇(5)

一、考查點(diǎn)或曲線的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

例1 （2007年新課標(biāo)）O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ.

（1）把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

（2）求經(jīng)過O1和O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.

解析 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.

（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.

即x2+y2-4x=0為O1的直角坐標(biāo)方程.同理x2+y2+4y=0為O2的直角坐標(biāo)方程.

（2）由x2+y2-4x=0，

x2+y2+4y=0，解得x1=0，

y1=0，x2=2，

y2=-2.即O1，O2交于點(diǎn)（0，0）和（2，-2）.過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.

方法總結(jié) 1.要抓住極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx（ρ≥0，

0≤θ≤2π）這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，這樣就可以把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題解決.2.對(duì)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化要抓住公式，但要注意把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角θ時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限，以便正確地求出角θ，當(dāng)點(diǎn)位于直角坐標(biāo)軸上時(shí)，可以充分利用數(shù)形結(jié)合的思想直接寫出點(diǎn)的極坐標(biāo).

二、考查曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化

例2 （2008年新課標(biāo)）已知曲線C1：x=cosθ，

y=sinθ（θ為參數(shù)），曲線C2：x=22t-2，

y=22（t為參數(shù)）.

（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);

（2）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2.寫出C′1，C′2的參數(shù)方程.C′1與C′2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由.

解析 （1）C1是圓，C2是直線.C1的普通方程為x2+y2=1，圓心C1（0，0），半徑r=1.C2的普通方程為x-y+2=0.因?yàn)閳A心C1到直線x-y+2=0的距離為1，所以C2與C1只有一個(gè)公共點(diǎn).

（2）壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1：x=cosθ，

y=12sinθ（θ為參數(shù)）; C′2：x=22t-2，

y=24t（t為參數(shù)）.化為普通方程為：C′1：x2+4y2=1，C′2：y=12x+22，聯(lián)立消元得2x2+22x+1=0，其判別式Δ=（22）2-4×2×1=0，故壓縮后的直線C′2與橢圓C′1只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C1與C2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.

方法總結(jié) 將參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去參數(shù)：一要熟練掌握常用的消參方法（如整體代換、代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法），二要注意參數(shù)的取值范圍的一致性.

三、考查點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程

例3 （2010年新課標(biāo)卷）已知直線C1：x=1+tcosα，

y=tsinα（t為參數(shù)），C2：x=cosθ

y=sinθ（θ為參數(shù)）.

（1）當(dāng)α=π3時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo);

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.

解析 （1）當(dāng)α=π3時(shí)，C1的普通方程為y=3（x-1），C2的普通方程為x2+y2=1.聯(lián)立方程組，解得C1與C2的交點(diǎn)為（1，0），（12，-32）.

（2）C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0.A點(diǎn)坐標(biāo)為sin2α-cosαsinα，故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為x=12sin2α，

y=-12sinαcosαα為參數(shù)，P點(diǎn)軌跡的普通方程為（x-14）2+y2=116，故P點(diǎn)軌跡是圓心為14，0，半徑為14的圓.

方法總結(jié) 用參數(shù)法求點(diǎn)的軌跡方程，是通過已知條件把所求的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別表示為某個(gè)參數(shù)（該參數(shù)通常是角度）的函數(shù)，但要注意參數(shù)的取值范圍.

四、考查曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

例4 （2013年浙江）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：x=2cosθ，

y=sinθ（θ為參數(shù)），過點(diǎn)P（2，1）的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn).若PA?PB=83，求AB的值.

解析 由題意，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2=2.設(shè)過點(diǎn)P（2，1）且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=2+tcosα，

y=1+tsinα（t為參數(shù)），設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線的參數(shù)方程代入x2+2y2=2，化簡得（1+sin2α）t2+4（sinα+cosα）t+4=0，

則Δ=16（2sinαcos2α-sin2α）>0 且t1+t2=4（sinα+cosα）1+sin2α，t1t2=41+sin2α.

由PA?PB=83得t1t2=41+sin2α=83，故sin2α=12，又由Δ>0得0<tanα<2，故 t1+t2=823，t1t2=83，所以AB=t1-t2=（t1+t2）2-4t1t2=

423.

方法總結(jié) 1.曲線的參數(shù)方程為x=f（θ），

篇(6)

關(guān)鍵詞 參數(shù)方程 求導(dǎo)法 高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)思路

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，學(xué)生能否掌握一元函數(shù)的求導(dǎo)直接影響到后面知識(shí)的學(xué)習(xí)。由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，特別是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，學(xué)生學(xué)起來普遍感到困難，做題時(shí)，往往容易犯錯(cuò)。筆者結(jié)合自己多年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談一談對(duì)這一部分內(nèi)容的教學(xué)改進(jìn)。

1 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果參數(shù)方程

（1）

確定與間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程（1）所確定的函數(shù)。

對(duì)于由參數(shù)方程所確定的函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的求法，大多數(shù)常用的《高等數(shù)學(xué)》教材①②中采用如下的處理方式：

設(shè)參數(shù)方程（1）確定函數(shù) = （），且（），（）在（）上可導(dǎo)，（）≠0，函數(shù) = （）具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù) = （），且此反函數(shù)能與 = （）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程（1）所確定的函數(shù)可以看成由 = （）， = （）復(fù)合而成的函數(shù)。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，就有

2 原有的教學(xué)思路

在以前的教學(xué)中，通常采用如下的教學(xué)思路：首先講解一階求導(dǎo)公式（2）的推導(dǎo)過程，然后求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)一再強(qiáng)調(diào)是對(duì)求導(dǎo)，所以求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，仍需利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，先對(duì)求導(dǎo)再乘以對(duì)的導(dǎo)數(shù)，即

= （）= （）?

從而推導(dǎo)出公式二階求導(dǎo)公示（3）。按照這樣的思路講解后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)掌握得還可以，但求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)總?cè)菀壮霈F(xiàn)下列的錯(cuò)誤解法。

例1 設(shè)確定是的函數(shù)。求，。

有些學(xué)生的解答如下：

很顯然，上述解答中二階導(dǎo)數(shù)求解是錯(cuò)的，正確的解答應(yīng)該為

通過作業(yè)發(fā)現(xiàn)，犯這種錯(cuò)誤的學(xué)生還比較多。細(xì)究其中的原因發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)前面剛學(xué)習(xí)的復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則掌握欠佳，這樣直接導(dǎo)致對(duì)求導(dǎo)公式（2），（3）的推導(dǎo)不理解。但因?yàn)橐浑A導(dǎo)數(shù)有簡潔的求導(dǎo)公式（2），學(xué)生容易記住。盡管有的學(xué)生可能一時(shí)還不理解公式（2）的由來。但只要記住了公式，就能求出一階導(dǎo)數(shù)。而求二階導(dǎo)數(shù)雖然有公式（3），但比較復(fù)雜，不易理解。而且學(xué)生只是認(rèn)為求二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)，卻忽略了對(duì)誰求導(dǎo)的問題，從而導(dǎo)致了求二階導(dǎo)數(shù)的錯(cuò)誤做法。

3 新的教學(xué)思路

在發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的問題并對(duì)其原因進(jìn)行分析后，決定改進(jìn)以前的教學(xué)思路，采取如下的教學(xué)過程：

第一步，仔細(xì)講解一階求導(dǎo)公式（2）的推導(dǎo)過程，并選幾個(gè)例題讓學(xué)生熟悉并牢記一階求導(dǎo)公式（2）；

第二步，引導(dǎo)學(xué)生明白既然是的函數(shù)，那么它的一階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該仍是的函數(shù)。但從前面的例題的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)中的變量仍為，比如例題1中 = 。事實(shí)上，一階導(dǎo)數(shù)仍是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，所以，應(yīng)該表示為

（4）

第三步，既然一階導(dǎo)數(shù)是由參數(shù)方程（4）所確定的函數(shù)，而求二階導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù)再對(duì)求導(dǎo)。故只需要再一次使用由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階求導(dǎo)公式（2），便可得到二階求導(dǎo)公式，

= （）=

即 = （5）

公式（5）就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階求導(dǎo)公式，與其一階求導(dǎo)公式在形式上是一致的。

例2 設(shè)確定是的函數(shù)。求。

解： = = =

因?yàn)槿匀皇菂?shù)方程，故

= = = =

按照這種方式講解以后，學(xué)生就很少犯例題1解答中那樣的錯(cuò)誤。而且這樣講解的好處是不僅使二階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)變得簡單直觀、容易理解， 而且對(duì)于更高階導(dǎo)數(shù)也是如此。

與二階求導(dǎo)公式類似，我們有

=

例3 在例題2中，求。

解： =

=

=

=

從以上可以看出，在新的教學(xué)思路下，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法變得很直觀。只要理解和記住了一階求導(dǎo)公式，那么求任意階導(dǎo)數(shù)都迎刃而解。

篇(7)

一、 消參

已知參數(shù)方程，要求消去參數(shù)將其化為普通方程，進(jìn)而更好地研究參數(shù)方程所表示的曲線的幾何性質(zhì).這是學(xué)習(xí)參數(shù)方程的最低層次.

例1

已知曲線C的參數(shù)方程為C：x=2cos θ，y=2sin θ（0≤θ≤π），求曲線C的長度.

分

析

要求該曲線的長度，需知該曲線的形狀，而該曲線是由參數(shù)方程的形式給出的，因此先要消去參數(shù)化為普通方程，再看其表示的是何種曲線，進(jìn)而解決本題.

解

因sin2 θ+cos2θ=1，故曲線C的參數(shù)方程可化為x2+y2=4，不難知道該普通方程所表示的圖形是圓.但注意到0≤θ≤π，故該參數(shù)方程所表示的曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓（上半圓）.所以其長度應(yīng)是圓周長l=2πR=4π的一半，即曲線C的長度為2π．

點(diǎn)

評(píng)

消參是學(xué)習(xí)參數(shù)方程的第一層次，也是最低層次，特別值得注意的是消去參數(shù)時(shí)一定要注意參數(shù)的取值范圍，保持消參后的普通方程與原參數(shù)方程的等價(jià)性.

二、 用參

已知參數(shù)方程，如何靈活、正確地使用好參數(shù)，是學(xué)習(xí)參數(shù)方程的第二層次，有一定的難度.

例2

已知直線l的參數(shù)方程為l：x=1+t，y=1-t（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為C：x=2cos θ，y=sin θ（0≤θ≤2π），若直線l與曲線C交于兩點(diǎn)M，N，求線段MN的長度.

分

析

本題若直接消去參數(shù)將曲線C與直線l化歸為普通方程，則過程較為繁冗，而且具有一定的難度.其實(shí)只要將曲線C化歸為普通方程，再靈活運(yùn)用直線l的參數(shù)方程，即可使本題簡捷巧妙地獲解.

解

將曲線C化為普通方程，可得x2+4y2=4（該曲線為橢圓），直接將直線l的參數(shù)方程代入，可得5t2-6t+1=0，解之得t=1或t=15．

當(dāng)t=1時(shí)，x=2，y=0，即得直線l與曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為M（2，0）；當(dāng)t=15時(shí)，x=65，y=45，即得直線l與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N65，45．所以線段MN的長度|MN|=452+452=452．

點(diǎn)

評(píng)

靈活借助直線的參數(shù)方程，巧妙將問題進(jìn)行化歸和轉(zhuǎn)化，從而使得問題的解答簡捷明快，發(fā)揮了參數(shù)方程的優(yōu)勢(shì)，體現(xiàn)了參數(shù)的功能與優(yōu)越性.

三、 設(shè)參

如何依據(jù)題設(shè)條件設(shè)置參數(shù)，巧妙建立參數(shù)方程，進(jìn)而將問題進(jìn)行合理、有效地化歸與轉(zhuǎn)化，是學(xué)習(xí)參數(shù)方程的第三層次，也是學(xué)好參數(shù)方程的最高境界.

圖1

例3

如圖1，給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是 .

分

析

不難看出點(diǎn)A，B，C都在半徑為1的圓上，因此解答本題的關(guān)鍵是如何選擇變量做為參數(shù).這里可以通過建立以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OC與OA的夾角為θ，借助圓的參數(shù)方程構(gòu)建出關(guān)于θ的函數(shù)，再求其最大值.

解

建立以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OC與OA的夾角為θ(0＜θ＜2π3)，則A（1，0），B（cos120°，sin120°），C（cos θ，sin θ）．

由OC=xOA+yOB，得x+ycos120°=cos θ，ysin 120°=sin θ，即x-12y=cos θ，32y=sin θ，可得y=23sin θ，x=13sin θ+cos θ，所以x+y=3sin θ+cos θ=2sin (θ+π6)，注意到0＜θ＜2π3，故當(dāng)θ=π3時(shí)，x+y取最大值2.

點(diǎn)

評(píng)

本題通過建立平面直角坐標(biāo)系，并選取OC與OA的夾角為參變量，借助圓的參數(shù)方程與向量的坐標(biāo)形式建立目標(biāo)函數(shù)，最終將問題化歸為求給定區(qū)間上的三角函數(shù)的最大值問題.設(shè)置參數(shù)起到了簡捷明快地解題的作用.

1. 已知曲線C的參數(shù)方程為

x=t-1t，