序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇勾股定理證明方法范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

    一、邏輯推理與實際應用是數學學習動機

    數學發展的歷史包括兩種典型的數學文化:一種是重視邏輯推理的希臘數學文化,一種是重視實際應用的中國數學文化.

    數學史家將古希臘數學按時間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個時期,希臘數學文化認為,數學命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數學成為數學研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數學成果正確與否的衡量標準.這個標準逐漸發展成為對數學研究的期望或理想,即期望數學成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數學突破了之前以幾何為中心的傳統,算術、數論和代數逐漸脫離了幾何的束縛.這一時期受羅馬實用思想的影響,論證數學不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數學中的邏輯推理在數學研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術》書中采用純分析的途徑處理數論與代數問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發展成為數學研究的新理想,即希望數學問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個希臘數學文化,數學研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.究其本質,邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質的思想,并且滿足動機的定義.因此它是古希臘數學研究的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.

    中國古代數學在整體發展上表現為算法的建構和改進[5].所謂“算法”不只是單純的計算,而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法[4].算學的目的在于解決實際問題,而實際問題是層出不窮的,因此中國古代數學不僅經受住了統治者廢除“明算”科的考驗,甚至還有所發展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數學文化的形成,用數學知識解決實際問題成為算學的理想,即期望數學成果能夠被實際應用.中國古代數學研究成為受這個理想而支配的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.實際應用滿足動機的定義,因此它是中國古代數學發展的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.

    所以邏輯推理與實際應用是人類進行數學研究的兩個動機,按動機的分類它們屬于驅力,是從生理需要出發的內在動機.數學學習可以認為是有方向性的對已有數學成果的再次研究過程,可以看作是數學研究的特例形式.依據歷史發生原理綜合分析得出:人類進行數學研究的內在動機一定會在數學學習中表現出來,即激勵人類研究數學的內在動機與激勵學生學習的內在動機是一致的.

    從實際情況出發,邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實際應用也是大家十分感興趣的,如通過應用基本的空氣動力學知識制作航模.

    綜上所述,邏輯推理與實際應用是數學學習動機,且這兩個數學學習動機是學生共有的、內在的,也是在實際教學中易于對學生進行培養的數學學習動機.

    古希臘數學中的公理化思想是希臘數學文化的重要特點之一.公理化思想出現的標志是歐幾里得的《幾何原本》.在數學中引入邏輯因素,對命題加以證明,一般認為是從伊奧尼亞學派開始的,但畢達哥拉斯學派在這一方面作了重大的推進,他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發展.

    算法程序化思想是中國數學文化的另一個重要特點.算法程序化思想出現的標志是成書于公元前后的《九章算術》.實際應用思想雖沒有明確的出現標志,但在《九章算術》成書前的《周髀算經》、《算數書》等書中涉及的數學知識都蘊含著明確的實際應用思想.算法的提出是為了解決一類實際問題,算法程序化為了使算法嚴謹、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實際應用思想,且算法程序化思想是實際應用思想的發展.

    隨著數學發展,公理化思想與算法程序化思想已應用到現代數學中,成為現代數學的特點.但它們不是貫穿整個古希臘數學與中國古代數學研究的內在因素,而是邏輯推理與實際應用數學思想發展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數學學習的動機,但適宜群體明顯要少得多.數學發展至今,數學本身的文化區域性特點淡薄了,希臘數學文化與中國數學文化背后的驅力——邏輯推理與實際應用思想,早已相互融合.近代微積分的應用及理論的嚴密化過程就是一例.

    二、比較古今數學教材以研究初中教材兩個學習動機的培養

    教材是教學中最重要的用書之一,是教師教學、學生學習的主要依據.《幾何原本》、《九章算術》作為西方與中國的數學教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當時的數學文化背景.重視邏輯推理與重視實際應用分別成為教學思想包含在這兩本書中.

    因為《九章算術》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現行數學教材與《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》進行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內容,且知識體系完備,預備知識基本一致,學生認知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對象.這種比較雖不能以點代面,但仍有較強的代表性與啟發性.現行數學教材采用經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的義務教育課程標準實驗教科書八年級數學下冊[6],以第18章第1節勾股定理內容為標準,選擇《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》部分內容進行比較.因《幾何原本》的成書結構是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習題,所以選擇其中與勾股定理有關或利用勾股定理證明的命題作為比較對象.由于初中教材在講解勾股定理時,預備知識中未包含圓、無理量及立體幾何內容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對象.《九章算術及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質求高深廣遠,因初中教材勾股定理的預備知識中沒有相似三角形及勾股數組的內容,所以選擇《九章算術及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對象.

    1.各種教材中勾股定理的內容

    (1)編寫目的

    《全日制義務教育數學課程標準(修改稿)》(下簡稱為《標準》)中勾股定理的教學要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題[9].《幾何原本》與《九章算術及劉徽注》雖沒有類似的編寫標準,但可以從它們的內容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉換面積間關系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術及劉徽注》利用勾股定理數量關系求得高深廣遠,解決實際生活的問題.

    (2)知識框架

    初中教材通過生活發現與幾何直觀探索,建立從實際到理論再到實際的知識體系,并運用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識體系,重在證明未知命題.《九章算術及劉徽注》通過給出3個簡單幾何問題“術”,建立從理論到實際的應用知識體系,旨在解決實際問題.3者建構的知識框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的導入分為兩部分,分析畢達哥拉斯發現的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導入可以認為是定義、公理、公設及已知命題.《九章算術及劉徽注》的導入是3個已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術及劉徽注》中的勾股定理以3個簡單幾何問題術的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對比,初中教材體現數形結合的勾股定理且形體現在邊長上;《幾何原本》中體現形的勾股定理且形體現在面積上;而《九章算術及劉徽注》體現數的勾股定理.各自的表述為其內容服務,它們之間存在一定差異.

    (5)定理證明

    初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉證明定理猜想.這種證明方法是近年來學者們傾向于“古證復原”思想提出的.初中教材對定理證明如下[6]:

    趙爽注釋的《周髀算經》對勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二,倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實一亦成弦實[8].

    兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數學作為定理證明既應符合歷史,又應符合學生認知習慣.圖形旋轉是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學生對一般幾何問題證明的思維形式,仍需再斟酌.

篇(2)

[關鍵詞] 數學史；勾股定理；教育價值

數學史對于數學教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數學教育類雜志可以發現，越來越多的中小學數學教師也在撰文闡述自己在教學中使用數學史的一些體會和教學案例. 在課程改革不斷深入的當下，數學史融入數學教學對于踐行課改的理念，培養全面發展有理想、有道德的高素質數學人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數學史的勾股定理教學設計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數學史修養的同時，開發出更多基于數學史的優秀教學案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數學家畢達哥拉斯及其徒眾發現的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發現，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數學家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發現勾股定理的國家，據《周髀算經》記載，我國數學家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發現到現在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發現時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數量關系聯系在一起，體現了數形結合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數學家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據“出入相補原理”，根據“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數學家大會會徽.

[圖1]

引導學生探索其他解法

上述是我國古代數學家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據面積相等實現定理的證明. 教師可以提示學生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學生提供的證法有可能和歷史上大數學家的證法一致.

歷史上的經典證明方法展示

發現勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發現和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統計，現在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數學思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發現，歷史上的勾股定理證明方法很多，據統計，有400多種，向學生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優劣，而是為了豐富教與學的內容知識，這也是數學史融入數學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發現他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數學家進行對話，從而產生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更全面的觀照. 最后，基于數學史數學教學所追求的目標之一，正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣，因此，數學歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補”原理的應用

所謂“出入相補”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進行的，只是圖形的分合移補略有不同而已. “出入相補”原理是我國古代數學家發明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.

趙爽和達?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯系]

可以看出，趙爽和達?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質的聯系，正因為這種本質聯系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數學內部的一種聯系. 正如韋爾斯在《數學與聯想》一書中所說的：“這就是為什么數學強有力的一個理由. 數學家發現，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認識到一百萬個問題‘實質上’都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數學讀本，應該多多向學生介紹這方面的內容，讓學生感受這種力量，去認識事物之間的聯系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣：（習題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結論早在公元前479年就已經由古希臘數學家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣（習題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數分為兩個平方數. 丟番圖在《算術》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀以后，正是在這一問題的啟發下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數學界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數學史上的千古之謎. 從那時起，為了“補出”這條定理的證明，數學家們花費了三個多世紀的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數

不言而喻，所謂勾股數，是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數呢，方法如下.

1. 任取兩個正整數m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數.

2. 若勾股數組中的某一個數已經確定，可用如下方法確定另兩個數：首先觀察已知數是奇數還是偶數.

（1）若已知數是大于1的奇數，把它平方后拆成相鄰的兩個整數，那么奇數與這兩個整數構成一組勾股數.

（2）若已知數是大于2的偶數，把它除以2后再平方，然后把這個平方數分別減1和加1所得的兩個整數與這個偶數構成一組勾股數.

練習題：限于篇幅，僅列一題.

練習題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

原書“術”曰：“以去本自乘，另如委數兒一，所得加委地數而半之，即索長.”

篇(3)

關鍵詞:勾股定理故事自學引導鞏固

時鐘隨著指針的移動嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊行進的兵士,“分”是士官,“小時”是帶隊沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當你百無聊賴、胡思亂想的時候,請記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統帥。檢閱他們時,你不妨問問自己——他們是否在戰斗中發揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數學教學實質上是數學思維活動的教學,在數學教學中要充分調動學生的主體作用,注重教學過程,改變被動接受知識的局面,實現課堂教學素質化,才能真正提高課堂教學質量和效率。下面說說我在教學中的做法,通過這個例子來具體地說明數學課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學目標:勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的。它是直角三角形的一條非常重要的性質,是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系;它可以解決直角三角形中關于邊的計算問題,是解直角三角形的主要根據之一,在實際生活中用途很大。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力,通過實際分析、拼圖等活動,使學生獲得較為直觀的印象;通過聯系和比較,理解勾股定理,以便正確地進行運用。

例如,勾股定理證明教學過程中,教師可這樣實施:

一、故事引入,激發興趣

為了激發學生學習勾股定理的興趣,可以由下列故事引入:三千多年前有個叫商高的人對周公說:把一根直尺折成直角,兩端連接得到一個直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦等于5。

這樣引起學生的學習興趣,激發學生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個性質呢?

教師要善于激疑,使學生進入樂學狀態。這樣做將學生的注意力吸引到課堂上來,學生全神貫注地聽課,課堂效率得到提高。

二、自學教材,主動探究

教師將教材知識整合,制作成幻燈片,以此指導學生自學教材。通過自學感悟、理解新知,體現了學生的自主學習意識,鍛煉了學生主動探究知識的能力,養成了學生良好的自學習慣。

1.通過自主學習,教師設疑或學生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學,中等以上的學生基本都能掌握,這時能激發學生的表現欲。

2.通過合作探究,引導學生擺脫網格的限制,研究任意直角三角形三邊的數量關系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導學生按照要求進行拼圖,觀察并分析;(學生每人準備四個大小一樣的直角三角形)(1)這兩個圖形有什么特點?(2)你能寫出這兩個圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結論?

這時教師組織學生分組討論,調動全體學生的積極性,達到人人參與的效果,接著全班交流。先由某一組代表發言,說明本組對問題的理解程度,其他各組作評價和補充。教師及時進行富有啟發性的點撥,最后,師生共同歸納,形成一致意見,最終解決疑難。

三、鞏固練習,強化提高

1.出示練習,學生分組解答,并由學生總結解題規律。課堂教學中動靜結合,以免引起學生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火,消防員趕來救火,了解到每層樓高3米,消防員取來6.5米長的梯子,梯子的底部離墻基2.5米,請問消防員能否進入三樓滅火?

2.出示例1:學生試解,師生共同評價,以加深對例題的理解與運用。針對例題再次進行鞏固練習,進一步提高學生運用知識的能力,對練習中出現的情況可采取互評、互議的形式,在互評互議中出現的具有代表性的問題,教師可以采取全班討論的形式予以解決,以此突出教學重點。

四、歸納總結,練習反饋

引導學生對知識要點進行總結,梳理學習思路。分發自我反饋練習,學生獨立完成。

五、課后作業

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報刊、資料或上網查閱中外名人對勾股定理的證明方法以及勾股定理的發展史。

教學反思:本節課教學目標明確,重點突出,注重對知識形成過程的教學。但是在準備這節課時還是不夠充分,比如引例比較簡單,可以適當增加。在本節課后,我又搜集了一些關于勾股定理的典故,充實本節課的內容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人,也知道這一定理的特例,也就是勾3、股4、弦5,并用它來測定直角,之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部,四正四方,正對準東西南北,可見方向測得很準,四角又是嚴格的直角。而要量得直角,當然可以采用作垂直線的方法,但是如果將勾股定理反過來用,也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5,或者符合的公式,那么弦邊對面的角一定是直角。

3.到了公元前540年,希臘數學家畢達哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5,或者是5、12、13,他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個規律?反過來,三邊符合這個規律的,是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子,結果都對這兩個問題作了肯定的回答。他非常高興,殺了一百頭牛來祝賀。以后,西方人就將這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”。

另外,合作探究和拼圖部分給學生留的時間太少,應該給學生足夠的時間進行思考,讓學生發現問題并解決問題。

篇(4)

證明三：重心定理――三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的[SX（]2[]3[SX）]，要用到的物理知識：根據力矩平衡求合重心.

證法如圖2所示，假設在ABC的三個頂點處分別放置一個質量為m的小球，B、C兩球的合重心在BC中點的D處，再與A球求合重心，在DA上距A的長度為AD的[SX（]2[]3[SX）]處，結論得證.

2 兩點商榷

（1）原文“證明一”所利用的物理知識“力矩平衡”來自于電磁學中的一個結論“閉合的載流線圈在勻強磁場中受的磁場力的力矩為零.”

其中M為線圈受的磁場力矩，S為線圈面積，I為線圈中的電流，B為磁場的磁感應強度，θ為線圈法線與磁感應強度方向的夾角.

（1）式是通過矢量積分得到的，其推導過程（略）中，對磁感應強度B進行正交分解以及所涉及到的三角函數值的計算，都是以勾股定理為前提的數學知識和方法，而原文“證明一”利用（1）式在θ=0時M=0情形來證明勾股定理，說到底走的是“以勾股定理為前提”證明“勾股定理”的循環論證之路，這是推理論證的大忌，當然也是平時教學和研究中應當注意避免的問題之一.

（2）原題“證明三”實際證明的結論是：三角形的一個頂點到分別放置于三角形三個頂點的三個相同質量的小球的合重心的距離等于該頂點所對邊上中線長的.而三角形的重心是指三角形三條中線的交點，顯然，上述“三個小球的合重心”與“三角形的重心”是兩個概念，要證的是后者與頂點的位置關系，而原文“證明三”所證的是前者與頂點的位置關系，實屬答非所問.[HJ1.55mm]

三角形三條中線的交點為什么叫三角形的重心？因為它是一個具有數理雙重身份的點.從數學上講，它是三條中線的交點，從物理上講，它是質量均勻分布的薄板三角形各部分所受重力的合力的作用點，自然又可稱為“重心”.

下面從物理的角度應當（也只能從物理角度）證明如上所述的三角形的重心位于三角形三條中線的交點（在此基礎上應用數學知識可以證明某一頂點到重心的距離等于對應邊上中線長的.

證明如圖3所示，將ABC看成由大量緊挨著的平行于BC邊的小條（例如圖中的小條GH――因條寬極小，小條可看作一線段）組成的.由于三角形薄板質量均勻分布，每一個小條（例如GH）的重心都位于該小條的中點（例如圖中的I），根據相似三角形的知識易知（推導過程略），這些點都位于中線AD上，因此，整個三角形的重心也必位于中線AD上.

同理可以證明，ABC的重心必位于中線BE和CF上，由于重心的唯一性，重心只能位于三條中線的交點上.所以，將三角形三條中線的交點稱為三角形的重心，當之無愧.

3 一點冷思考

篇(5)

關鍵詞：數學史；學習興趣；學生課堂

美國數學家魏爾德（R.L.Wilder）認為：數學課堂上只強調數學的技術是不夠的，要使學生被數學所吸引，一定要運用數學歷史知識。

在課堂教學中適當地引進數學史，能提高數學課堂教學的有效性。主要表現在以下幾個方面：

一、激發學生的學習興趣

夸美紐斯說：“興趣是創造一個歡樂和文明的教育環境的主要途徑之一。”

教師在課堂上介紹數學家的趣聞軼事、數學概念的起源、古今數學方法的簡單對比等等，都能起到激發興趣的作用。即使在課堂上簡略提及一個問題的研究者、研究的原因、最早的解法、最后的解法、最大的或最好的解法等等，都能激發學生的興趣，因為學生對于人物、原因和最佳結果等有著天生的好奇心。

如，在學習命題邏輯的時候，我們可以向學生介紹《唐?吉訶德》中的悖論。像這樣的小故事能立刻吸引學生的注意，在后面的學習過程中也會表現出很高的積極性。

這樣既拓寬了學生的思路，又有利于幫助學生記憶公式。

二、啟發學生的人格成長

古希臘大數學家阿基米德的故事：公元前212年，阿基米德的家鄉敘拉古被羅馬人攻陷。當時，阿基米德仍在專心致志地研究一個幾何問題，絲毫不知死神的臨近。當一個羅馬士兵走近他時，阿基米德讓他走開，不要踩壞了他的圖形，羅馬小卒殘忍地用刺刀殺害了他。

這曾是一個舉世震驚的奇跡：一位屈居于6平方米小屋的數學家，借一盞昏暗的煤油燈，伏在床板上，用一支筆耗去了幾麻袋的草稿紙，攻克了世界著名數學難題“哥德巴赫猜想”中的“1+2”，創造了摘取這顆數論皇冠上的明珠“1+1”只是一步之遙的輝煌。創造這個奇跡的正是我國著名數學家陳景潤。

我們不會相信一個數學故事或一本數學家傳記一定會造就一名數學家，但數學家的奮斗經歷對學生人格成長的正面啟發作用是不可否認的。

三、改變學生的數學觀，樹立學生的自信心

美國學者Bidwell曾對傳統的數學課堂作出了這樣的比喻：“在課堂里，我們常常這樣看待數學，好像我們是在一個孤島上學習似的。我們每天一次去島上學習數學，埋頭鉆進一個純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房。學生覺得數學是封閉的、呆板的、冰冷無情的、一切都已發現好了的。”他認為，在教學中融入數學史，可以將學生從數學的孤島上挽救出來，并將他們安置于一個生機勃勃的新大陸上，這個新大陸包含了開放的、生動活潑的、充滿人情味的并且總是饒有趣味的數學。

為什么說數學史可以改變學生的數學觀？傳統的教學注重的不過是技術而已，學生心目中的數學是枯燥的、是少數人的專好，有些人有數學頭腦而另一些人則沒有數學頭腦。數學遠離社會，遠離現實生活，學習數學不過是為了考試而已。數學史上的故事足以說明：數學其實是人類的一種文化活動，人人可學，人人可做。

數學家花了幾千年的時間才理解了無理數，花了三百年才理解了復數，花了一千年才理解了負數。從伽利略到狄利克雷，數學家一直絞盡腦汁地去理解函數的概念；而牛頓和萊布尼茲盡管是聲名顯赫的先輩，但他們自己也沒有透徹理解微積分的許多概念，數學家們大約經過二百年的努力，方把這些概念弄清楚。那么學生開始時不能很好地理解這些概念，也就不致感到迷惘；相反，將會更加信心百倍地繼續學下去。

法布爾可以精通代數學，林肯可以精通幾何學，拿破侖和加菲爾德可以做數學，這些歷史名人的數學軼事告訴我們：數學其實是人類的一種文化活動，它不是少數人的專好，而是人人可學、人人可做，盡管并非人人都有數學家的才能。這就像籃球一樣，人人可打，卻并非人人都有運動員的天賦。另一方面，司湯達的學習經歷告訴我們：人們在學習數學的過程中難免會遇到這樣那樣的困難和挫折，沒有必要為此而灰心喪氣。面對學生，可試試用類似的名人軼事來改變一下學生錯誤的數學觀，增強他們學習數學的積極性和自信心。

四、拓寬學生的視野

不同時空的數學家往往會做出同樣的數學發現，一個概念、定義、定理、公式當然不會僅僅局限于課本中的某一種思想方法。擁有數學教材中有關概念、定理、思想方法產生和發展的歷史知識，無疑會大大拓寬我們的視野，進而豐富和提升我們的課堂教學。

等比數列求和的例子：

約在公元前3000年，巴比倫人就已經總結出等比數列1，2，22…，29的求和公式。意大利有釘子問題，古埃及有貯藏室問題，我國的《孫子算經》里也有類似的題目。根據前人計算的一些方法總結，我們可以得到等比數列求和公式的一些證明方法：

歷史上許許多多精彩的思想方法被排斥于我們的教材之外。了解歷史之后，我們當然不能說教材上的“錯位相減法”是唯一適合于課堂教學的方法，但在歷史方法的對比中，學生開闊了視野，在不知不覺中還學會了欣賞數學。實際上，類似的例子比比皆是。如被開普勒譽為幾何學兩大法寶之一的勾股定理，古代中國、希臘、印度、阿拉伯以及近現代歐洲都有證明，畢達哥拉斯、歐幾里得、趙爽、劉徽等人的證明都完全可以引入課堂教學。用數學問題的歷史上的解法與課堂上學生自己的解法進行比較，會產生很好的效果。

五、了解多元文化的數學

數學從來不是某一個國家、民族或個人的專利，每一種文化都有其自己的數學。數學歷史讓學生了解到不同文化背景下的數學思想，從而理解數學的多元文化意義。

多元文化視野中的勾股定理證明方法：

古巴比倫時期（公元前1900―1600年），數學泥版文獻中的一些幾何或代數問題表明：勾股定理早在公元前兩千年就已在兩河流域文明中得到了廣泛應用。在西方文獻中，勾股定理一直以古希臘哲學家畢達哥拉斯的名字來命名，但迄今并沒有畢達哥拉斯發現和證明勾股定理的直接證據。在希臘數學中，關于勾股定理的明確證明見于歐幾里得的《幾何原本》。

由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”；法國人稱之為“驢橋問題”；阿拉伯人稱之為“新娘圖”“新娘的坐椅”；在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風車”。

在中國古代，勾股定理的特例以及一般情形的敘述見于公元前2世紀成書的天文數學著作《周髀算經》。公元3世紀，趙爽和劉徽分別對勾股定理作出證明，他們運用的都是出入相補原理。

勾股定理的證明層出不窮，至今已多達近四百種。歷史告訴我們：數學是全人類共同的遺產，不同文化背景下的數學思想、數學創造都是根深葉茂的世界數學之樹不可分割的一枝。

當我們把多元文化引入數學課堂時，我們會發現“誰比誰早多少年”已經不是最重要的，最重要的是：這會讓我們的學生消除民族中心主義的偏見，以更寬闊的視野去認識古代文明的數學成就，并學會欣賞豐富多彩的數學文化。

參考文獻：

[1]林克涌.讓數學文化走進課堂[J].數學通報，2007（12）.

[2]朱哲.“等比數列前n項和”教學設計及其分析[J].中學教研，2003（7）.

篇(6)

為使學生學好當代社會中每一位公民適應日常生活、參加社會生產和進一步學習所必需的代數、幾何的基礎知識與基本技能，進一步培養學生運算能力、發展思維能力和空間觀念，使學生能夠運用所學知識解決實際問題，逐步形成數學創新意識。

二、教材內容分析

本學期數學內容包括第一章《勾股定理》、第二章《實數》，第三章《圖形的平移與旋轉》，第四章《四邊形性質探索》，第五章《位置的確定》，第六章《一次函數》，第七章《二元一次方程組》，第八章《數據的代表》。

第一章《勾股定理》的主要內容是勾股定理的探索和應用。其中勾股定理的應用是本章教學的重點。

第二章《實數》主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的概念和運算。本章的內容雖然不多，但在初中數學中占有十分重要的地位。本章的教學重點是平方根和算術平方根的概念和求法，教學難點是算術平方根和實數兩個概念的理解。

第三章《圖形的平移與旋轉》主要內容是生活中一些簡單幾何圖形的平移和旋轉。簡單幾何圖形的平移是本章教學的重點，簡單圖案的設計是本章的難點。

第四章《四邊形性質探索》的主要內容是四邊形的有關概念、幾種特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性質和判定以及三角形、梯形的中位線，其中幾種特殊四邊形的性質和判定是本章教學的重點，推理證明是本章的難點。

第六章《一次函數》的主要內容是介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。其中一次函數的圖像的表達式是本章的重點和難點。

第七章《二元一次方程組》要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實際的問題。

第八章《數據的代表》主要講述平均數和中位數、眾數的概念，會求平均數和能找出中位數及眾數。

三、學生情況分析：

初二（1）班共有學生44人，從上學期期未統計成績分析，及格人數分別為5人，優秀人數分別為0人，與其他幾個平行班比較，優秀生及格生都少，另外這兩個班的學生中成績特別差的比較多，成績提高的難度較大。在這樣一個以少數民族為主的學生群體中，學生的數學基礎和空間思維能力普遍較差，大部分學生的解題能力十分弱，特別是幾何題目，很大一部分學生做起來都很吃力。從上學期期末統測成績來看，成績最好是78分，差的只有幾分，這些同學在同一個班里，好的同學要求老師講得精深一點，差的要求講淺顯一點，一個班沒有相對較集中的分數段，從幾分到70多分每個分數段的人數都差不多，這就給教學帶來不利因素。

四、教學目標

1、正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本運算，并能熟練地進行二次根式的化簡。

2、掌握二次根式加、減、乘、除的運算法則，能夠進行二次根式的運算。掌握二次根式

3、理解四邊形及有關概念，掌握幾種特殊四邊形的性質定理及判定。

4、理解相似一次函數的概念，掌握一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。

五、教學措施及方法

1、成立學習小組，實行組內幫輔和小組間競爭，增強學生學習的信心及自學能力。

2、注重雙基和學法指導。

3、積極應用嘗試教學法及其他新的教學方法和先進的教學手段。

4、多聽聽課，向其它老師借簽學習一些優秀的教學方法和教學技巧。

六、本學期教學進度計劃

第一周：第一章《勾股定理》

第二周：第二章《實數》

第三周：第二章《實數》的復習和第三章《圖形的平移與旋轉》

第四、五周：第四章《四邊形性質探索》。

第六周：第五章《位置的確定》。

第七周：第六章《一次函數》，介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。

第九周：第八章《數據的代表》和總復習。

第十周：綜合復習和訓練。

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一、現實生活問題人為構造痕跡很重

數學與生活的聯系是十分緊密的，不管如何改革，數學教學中包含生活問題是不可避免的，也是很有必要的。而正是因為這樣，現實生活中的問題被老師們當做家常便飯了，每一節數學課都要用，用當然無可厚非，但問題是小學、初中的數學知識在生活中有顯性體現的畢竟是少數，比如初等數論中的許多知識，平面幾何中的許多定理，等等。所以，時間久了，老師們也想不出還有什么新的生活問題情境了。這種情況下，人為構造開始了。

例如，在“全等三角形的判定”中，有很多老師用過這樣的問題情境：有一塊三角形的玻璃被打破成如圖1所示的兩塊，如果要到玻璃店去照原樣配一塊，要不要把兩塊都帶去?

教師的設計意圖很明顯，通過這個問題，引導學生們學習或者是應用角邊角定理(ASA)。那么，很明顯，帶(B)塊碎玻璃去即可(如圖2)。這看起來似乎是很完美的問題，教師自我感覺肯定很好。

其實不然。如果我們到大街小巷去逛一圈就會發現問題。哪里有三角形的玻璃?反過頭來一想，也是，三角形的玻璃三個角很容易讓人受傷，為了安全起見，當然得少用。另外，有過打破玻璃經歷的人都知道，生活中，如果誰家的窗戶玻璃壞了，有哪個會帶著其中的碎玻璃去玻璃店呢?那多麻煩!一般都是請木工師傅或者專門的維修人員處理。他們帶來卷尺測量一下，然后到玻璃店直接劃一塊，再幫你裝好所以，仔細一想就知道，上述問題情境很有可能是杜撰的。孩子們又怎么會相信呢?

實際上，全等三角形的判定，應該是數學自身邏輯發展的產物，而不會是生活需要的結果。人們絕對不會由于生活中要判定兩個三角形是否全等而一一發現SSS、AAS、ASA等，而應該是為了追求數學的簡潔，少用一點元素(按照全等三角形定義，要把6個對應元素都做對比)就能解決數學問題。這一點從教材中也可以看出。人教版八上在用定義判定兩個三角形全等后，用這樣一句轉折的話引出判定定理：“如果ABC和A′B′C′滿足上述六個條件中的一部分，那么能否保證ABC和A′B′C′全等呢?”這正是數學簡潔性的體現。

所以，教學這類由數學自身的需要而發展起來的數學知識，在沒有很好的生活問題的情況下，教師完全可以從數學的自身發展需要角度向學生提出問題。學生也愿意解答。誰不想把事情變得簡潔明了一點呢?這就是數學的性質與人的天性統一的地方。

二、數學史問題關注太少

正是由于老師們都去關注生活問題情境，以致豐富的數學歷史資源無人問津。實際上，教師適當介紹數學史，可以讓學生正確、全面地了解知識的產生過程，了解一些國內外著名數學家探索數學問題的艱辛歷程和所取得的輝煌成就，能對學生進行數學理性精神的熏陶，激發學生的學習興趣。

比如，教學勾股定理的時候，我們可向學生講解古希臘畢達哥拉斯學派的故事，以及“萬物皆數”的信條。而正是勾股定理的發現，直接導致了數學史上的第一次危機。同時，勾股定理發展到今天，據說已經有幾百種證明方法，這是一筆多么寶貴的財富!因此，教師還可向學生展示歷史上勾股定理的經典證法，并告訴學生我國古代數學家(如楊輝)在勾股定理證明方面作出的巨大貢獻。學生的民族自豪感自然會得到加強。

此外，歷史上的數學名題層出不窮，而且它們的提出都非常真實自然。相比之下，課本上提供的問題或多或少顯得枯燥、刻板，有明顯的人為痕跡。課堂上利用數學名題進行教學，會使學生感到自然、親切，有利于激起學生學習數學的積極性，加深對數學知識的理解。

比如《算法統宗》中的“三女歸寧”：張家有3個女兒，長女3日回家一次，次女5日回家一次，三女7日回家一次，她們同一天離家，問幾日后又同時到家相會?

“群羊逐草”：甲趕羊群逐草茂，乙攜肥羊一只隨其后，戲問甲及一百否?甲云所說無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機奧妙誰參透?