序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇動態規劃范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

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【關鍵詞】動態規劃；矩陣連乘問題；最優子結構；遞歸算法；重疊子問題

1.動態規劃

動態規劃[1]是運籌學的一個分支，是求解決策過程最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程的優化問題時，提出了著名的最優化原理，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法――動態規劃。動態規劃問世以來，在經濟管理、生產調度、工程技術和最優控制等方面得到了廣泛的應用，例如庫存管理、資源分配、設備更新、排序、裝載等問題。

動態規劃是一種將復雜的問題分解為更小的、相似的子問題，并存儲子問題的解而避免計算重復的子問題，以解決最優化問題的算法策略。

1.1 基本思想

動態規劃算法的基本思想是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解。適合于用動態規劃法求解的問題，經分解得到的子問題往往不是相互獨立的，可以用一個表來記錄所有已解決的子問題的答案，不管該子問題以后是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重復計算，從而得到多項式時間算法。[2]

1.2 求解問題特征

動態規劃算法的有效性依賴于問題本身所具有的兩個重要性質：最優子結構性質和子問題重疊性質。

1.2.1 最優子結構

原問題的最優解包含著其子問題的最優解，這種性質稱為最優子結構性質。在分析問題的最優子結構性質時，所用的方法具有普遍性：首先假設由問題的最優解導出的子問題的解不是最優的，然后再設法說明在這個假設下可構造出比原問題最優解更好的解，從而導致矛盾。利用問題的最優子結構性質，以自底向上的方式遞歸地從子問題的最優解逐步構造出整個問題的最優解。最優子結構是問題能用動態規劃算法求解的前提。

1.2.2 子問題重疊

遞歸算法求解問題時，每次產生的子問題并不總是新問題，有些子問題被反復計算多次，這種性質稱為子問題的重疊性質。動態規劃算法，對每一個子問題只解一次，而后將其解保存在一個表格中，當再次需要解此子問題時，只是簡單地用常數時間查看一下結果。通常不同的子問題個數隨問題的大小呈多項式增長。因此用動態規劃算法只需要多項式時間，從而獲得較高的解題效率。

1.3 設計步驟

3.總結

動態規劃方法中每步所作的選擇往往依賴于相關子問題的解，因而只有在解出相關子問題后才能做出選擇所以動態規劃，算法通常是以自底向上的方式解各子問題的解進而求出原問題的解。動態規劃是一種很靈活的算法設計方法，在動態規劃算法的設計中，類似的技巧還有很多。要掌握動態規劃的技巧，有兩條途徑：一是要深刻理解動態規劃的本質，這也是為什么一開始就探討它的本質的原因；二是要多實踐，不但要多應用，還要學會從應用中探尋規律，總結技巧。運用動態規劃算法解決的還有很多現實問題，如背包問題、最長公共子序列問題、凸多邊形最優三角剖分問題、電路布線等問題，在本文中沒有介紹。動態規劃算法雖然復雜，但只要掌握它的本質特征并多加練習，就可以靈活運用，并加以擴展，來提高程序的時效性。

參考文獻

[1]百度百科.http：//

[2]王曉東.計算機算法設計與分析（第四版）[M].北京：電子工業出版社，2012.

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關鍵詞：動態規劃；裝載問題；JAVA語言

中圖分類號：TP31 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）10-2401-03

Abstract： How to load goods to get maximum economic benefits by manufacturers is a sub-problem divided from logistics distribution.In this paper，the sub-problem is abstracted a 0-1 knapsack problem.We create a mathematical model based on dynamic programming algorithm，and analyze the advantages of the algorithm.Then we use JAVA language to solve the problem.After setting some test datum， the final results show that the dynamic programming method has efficiency，and can be applied widely.

Key words： Dynamic programming； Loading problems； JAVA language

隨著經濟的不斷發展，各廠商在滿足客戶需求的條件下，利用物流技術，從備貨、裝箱、配送、存儲等物流配載技術網中尋求省時省力的方法，使得資源使用效率得到提高，同時降低了廠商的成本[1]。

問題提出：某廠商每周向校園超市運輸一次商品，在小型貨車容量不變且不能超載的約束下，如何裝載商品，使產生的經濟效益最大化？該問題是廠家所關心的，也是本文的關注點。運用動態規劃方法解決此問題，能夠較好地控制企業的人力資源成本和運輸成本，從而提高商業的競爭力。

1 動態規劃算法簡介

動態規劃（dynamic programming）[2]產生于20世紀50年代，由美國數學家R.E.Bellman等人提出。動態規劃的思想是把一個問題劃分為具有相關性的若干子問題來解決，并將各個子問題求解答案和求解方法進行保存。如果在之后的處理過程中還需要用到已解決的子問題，則直接調用答案，從而避免重復的計算，節省了時間。

在解決實際問題中，我們需要動態規劃出適當的約束條件和遞推關系，并在各單階段中尋找互相聯系的因素，依次將每一階段所得的最優結果進行存儲。這種階段劃分、自下向上的求解方式需要建立表或數組才能有效實施。如圖1所示：

基于動態規劃法解決的問題需要滿足一定的條件，例如：（1）滿足無后效性，即子問題的下一狀態只與現在狀態有關；（2）滿足最優性子結構，得出子問題的最優解；（3）原問題可以劃分出多個擁有關聯的子問題[3]。

2 模型的建立

廠商向校園超市運輸商品的問題：已知廠商共有N件商品，每件商品擁有固定的Id號，Id=i的商品重量為Wi，產生的經濟效益為Vi，貨車的最大載重量為N。現假設一個n維向量Xi=（X1，X2，...Xn）∈{0，1}n，當Xi=1時表明相應Id的商品裝入車中；當Xi=0時表明商品未裝入車中。最終得出的結果為[maxi=1nViXi]，即最大效益值，約束條件為[maxi=1nWiXi]≤N。貨車的載重量是有限的，在這個上限內盡可能裝下商品使經濟效益越高越好。通過以上分析，此問題恰好可以抽象為一個重量集合、經濟效益集合與貨車載重量分別是Wi={W1，W2，...Wn}，Vi={V1，V2，...Vn}和N的0-1KP問題。

在0-1背包問題中，物品價值與體積不隨背包容量的變化而變化[4]。舉例說明：假設有N=3個物品，總容量為10，體積V[i]={2，4，6}分別對應價值P[i]={3，7，4}，設數組B[i][j]，表示在背包容量為j的條件下，放入第i個物品后的最大價值。如下表1所示：

動態規劃算法易于編程的實現，雖然需要一定的空間存儲其產生的結果，但是它的高效性能在測試中體現出來。

4 測試數據

假設廠商貨車載重量為上述的1534，他們所建Commodity表中總共有50件商品，其Id、weight、value的數據分別如下所示：

最終得出經濟效益最大值為1904，如圖3所示。

5 結束語

本文從實際出發，給出廠商向校園超市運輸商品時的裝載問題，結合一個有效的算法――動態規劃算法，利用JAVA語言得以實現。動態規劃法有較好的效率和速度，不僅能用于解決裝箱問題，而且能夠運用于物流配載中的路徑規劃、資源分配等實際問題，優化了企業資源管理，提高經濟效益，降低資源成本，能夠應用于更多的科學領域中。

參考文獻：

[1] 謝天保，雷西玲，席文玲.物流配送中心配載車輛調度問題研究[J].計算機工程與應用，2010，36：237-240.

[2] 陳大偉，孫瑞志，向勇，史銀雪.基于流程模式的工作流靜態規劃方法[J].計算機工程與設計，2011（1）：129-132，137.

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【關鍵詞】數學模型 動態規劃 多階段投資決策

一. 引言

多階段決策問題是投資者在連續的幾個投資階段中每個階段里都進行投資， 其目的是使得到最后一個投資階段結束時， 投資者進行多次投資的收益總和盡可能大， 這些投資階段之間是相互關聯的， 面對眾多的投資項目， 如何合理的安排資金成為決策部門關心的焦點， 而動態規劃方法的關鍵在于正確寫出基本遞推關系式， 首先將問題的過程分成幾個相互聯系的階段， 恰當的選取狀態變量和決策變量及定義最優值函數， 從而把一個大問題化成一族同類型的子問題， 然后逐個求解， 即從邊界條件開始， 逐階段遞推求優， 在每個子問題求解過程中均利用了它前面的子問題的最優結果， 依次進行， 最后一個子問題所得到的最優解就是整個問題的最優解.

二. 動態規劃在多階段投資組合中的應用

1.案列介紹

假設某公司決定將60萬元投資4個工廠， 該公司希望通過合理分配資金確定最優組合，使所獲得的投資收益最大， 經調查各個工廠所獲得收益和投資額如圖所示.

投資額與收益額 （單位： 萬元）

2.建立動態規劃模型

由于動態規劃問題的特殊性， 我們將它看作一個多階段決策問題， 分階段來解決， 為此， 我引入以下各參數：

（1）s――投資總額

（2）n――投資組合中的項目數

（3）uk――決策變量，分配給第K個項目的資金

（4）sk――狀態變量，分配給前k個工廠的資金

（5）sk-1=sk-uk――分配給前k-1個工廠的資金

（6）gk（uk）――階段目標函數，對第 個項目投資 所獲得的收益

（7）fk（s）――目標函數，以數量為 的資金分配給前 個工廠所得到的最大利潤值

當k=1時，

當1

3. 利用動態規劃模型求解

第一階段： 求f1（s） ， 則

第二階段： 求 ，

最優策略為（40，20）， 此時最大利潤值f2（60）=120萬元.

同理可得其他f2（u2）及最優策略

第三階段： 求f3（u3），

同理可求得其他f3（u3）的值

第四階段： 求f4（60）， 即問題最優策略

所以最優策略為（20，0，30，10）， 最大利潤為160萬元.

4.模型的意義分析

本文針對多階段資產投資問題， 以最終的總收益盡可能大為決策目標的資產投資組合問題的一個多階段動態規劃決策模型， 利用動態規劃的順序法求得多階段投資的整休最優投資組合.

參考文獻：

[1]胡元木，白峰. 動態規劃模型在股票投資組合中的應用， 山東社會科學， 2009；09（39）.

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【關鍵詞】配電網；動態規劃技術；恢復供電

當前，智能電網的發展在一定程度上帶動了電網技術的發展，并且成為了電網技術發展的重要方向。實際上，智能電網的重要組成部分在于智能配電網，智能配電網的主要特征為擁有完備的自愈能力，同時還能夠最大程度的減少電網故障給用戶帶來的影響。而配電網故障的恢復是智能配電網自愈功能實現的重要過程，配電網故障恢復問題主要指配電網發生故障以后，在故障定位與故障隔離的基礎之上，應用一定的故障恢復策略對其進行操作，從而確保供電的平穩與正常。

一、對最佳路徑的分析

配電網故障區域恢復供電的最佳路徑事實上是在故障情況下的配電網絡重構。主要的目的在于，能夠快速的將非故障區域供電恢復，與此同時，還能夠有效的滿足線路負載容量的要求以及線損最小等各個方面的條件。現階段，在配網自動化領域中研究最多的在于怎樣能夠快速的實現故障隔離以及快速的恢復費故障區域的供電技術方法，因此，在恢復路徑的最優化選擇方面出現了較多的研究。

一般而言，配電網故障區域恢復供電的路徑為多目標最佳路徑問題，現階段在最佳路徑問題的研究上較多的便是城市交通網絡中的最短路徑問題的研究。由于問題解決的思路存在著極大的不同點，因此最短路徑問題能夠被分為單元最短路徑算法與基于啟發式搜索最短路徑算法[1]。這與鄧群，孫才新，周駁仍凇恫捎枚態規劃技術實現配電網恢復供電》一文中的觀點極為相似。其中，單元最短路徑算法主要體現在幾個方面，即：

第一，在GIS空間查詢語言方面的最短路徑。該職工路徑的研究方法在當前還停留在理論研究方面，例如在MAX中定義了一套空間查詢語言，該套語言對其完備性給予了相關證明，同時通過舉證的方式，對范圍查詢與時態查詢等進行了應用分析。

雖然，對于GIS空間發展研究GeoSQL為一種有效的處理最短路徑的手段，但是GIS受到數據庫技術發展的制約與影響，導致實際的應用領域和背景的不同，使其和商用之間還有很長的一段距離。

第二，在功能模塊思想路徑方面，需要按照不同的分類方法實施，而單元最短路徑問題的算法能夠被分為很多種，例如神經網絡法與基于人工智能的啟發式搜索算法等，對于不同的背景應用需求和具體軟件應用的環境，各種算法在空間的復雜程度與時間的復雜程度等都有明顯的體現[2]，這與李振坤，周偉杰，錢嘯等在《有源配電網孤島恢復供電及黑啟動策略研究》一文中有著相似的觀點。并且各種算法在故障恢復方法中各具特色。

另外，啟發式搜索最短路徑算法也是一種有效的手段。基于啟發式方向策略最短路徑算法，其中包括空間有效方向的可控參數法，該方法能夠有效的調節相關系數，在有效方向上路徑無效的時候，能夠確保得到有效的路徑。

二、最佳路徑的選擇方法分析

事實上，配電網故障區域恢復供電的最佳路徑并不是簡單的路徑問題，而是多目標最佳路徑問題。為此，在研究配電網非故障區域恢復供電的最佳路徑過程中，需要對其展開綜合的分析。

首先，在多目標分析方面，通常在選擇配電網非故障區域恢復供電最佳路徑的時候，最為重視的目標為：

第一，在恢復供電路徑的過程中，饋線負荷不能過載，同時，還需要確保恢復區域的電壓質量能夠與實際規定的標準要求相吻合。當供電質量可靠性最高的時候，那么恢復的時間將會很短[3]；這與鄧昆英，汪鳳嬌，饒杰等在《智能配電網有功自治互動建模研究》一文中的觀點極為相似。另外，供電過程中，線損最低，證明開關拉合的次數最少，同時現場的操作點也會最少。

第二，在動態規劃技術恢復供電的最短路徑方面需要明確，動態規劃主要是運籌學的一個分支，它是求解決策過程的最優的數學方式。早在很久以前，就已經有研究人員對多階段過程轉化問題轉化為一系列的單階段問題，并且逐一進行求解，這標志著解決這類過程優化問題的新方法的創立，即動態規劃技術。

本文主要將一典型的復雜配電網絡作為研究例子，該連通系包括10個電源點，8個分支點，同時聯絡開關有16個。將其加入到配網潮流方向和典型的運動方式中，將聯絡開關和電源點作為定點，那么可以將其分為26個定點。盡管從數量上頂點比較多，但是由于存在著較為復雜的網絡關系，使得該問題成為一個極為簡單的最短路徑問題[4]。這與楊建在《配電網無功補償系統的關鍵技術研究》一文中的觀點有著相似之處。加之恢復路徑主要指費故障區域相關的聯絡開關與相應路由，為此我們可以將其理解為從不同電源點出發到各個聯絡開關的最短路徑問題，這樣一來，故障恢復工作的實施便簡單的多。

總結

本文主要從兩個方面左手，共同分析了采用動態規劃技術實現配電網恢復供電的方法與效果，一方面著手于最佳路徑的分析，另一方面著手于最佳路徑的選擇方法。從這兩個方面可以看出，利用動態規劃技術去實現配電網恢復供電是一種可行的方法。但是，受到歷史原因的影響，我國城市配電網絡還缺少標準的規范要求，導致配電網常常出現一些事故。因此，恢復配電網供電已經成為當務之急。隨著科技的發展，智能配電網已經被廣泛的應用在供電方面，這為平穩供電提供了一定的保障，同時也為恢復配電網故障供電創建了良好的環境與條件等。

參考文獻

[1]鄧群，孫才新，周駁.采用動態規劃技術實現配電網恢復供電[J].重慶大學學報（自然科學版），2006，29（3）：40-44.

[2]李振坤，周偉杰，錢嘯等.有源配電網孤島恢復供電及黑啟動策略研究[J].電工技術學報，2015，30（21）：67-75.

[3]鄧昆英，汪鳳嬌，饒杰等.智能配電網有功自治互動建模研究[J].機電工程技術，2014，（2）：4-7.

[4]楊建.配電網無功補償系統的關鍵技術研究[D].中南大學，2002，（12）：56-78.

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關鍵詞：最短路徑；動態規劃；C 語言編程

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）09-2191-03

1 概述

數學源于生活，又服務于生活.它是一門研究現實世界中的數量關系與空間形式的學科.當今社會，隨著物質水平的不斷提高，生活需求的不斷擴大，自然資源的不斷開發利用.像天然氣管道鋪設問題，廠區布局問題，旅行費用最小問題等都已成為我們平時經濟生活中的普遍問題.它們其實都可以化歸為最短路線問題，而最短路問題實質上是一個組合優化問題[1]。

動態規劃方法主要是研究與解決多階段決策過程的最優化問題，它將求解分成多階段進行，不但求出了全過程的解，還能求出后部子過程的一組解，在求解一些生活實際問題時，更顯其優越性。為了快速、簡單的計算最短路徑，節約運輸時間與成本，該文利用動態規劃的思想編寫了C語言程序，解決物流運輸過程中多地點的最短路徑的選擇問題。

2 最短路徑問題

2.1 最短路徑問題算法的基本思想

在求解網絡圖上節點間最短路徑的方法中，目前國內外一致公認的較好算法有迪杰斯特拉（Dijkstra）及弗羅伊德（Floyd）算法。這兩種算法中，網絡被抽象為一個圖論中定義的有向或無向圖，并利用圖的節點鄰接矩陣記錄點間的關聯信息。在進行圖的遍歷以搜索最短路徑時，以該矩陣為基礎不斷進行目標值的最小性判別，直到獲得最后的優化路徑[2]。

Dijkstra算法是圖論中確定最短路的基本方法，也是其它算法的基礎。為了求出賦權圖中任意兩結點之間的最短路徑，通常采用兩種方法。一種方法是每次以一個結點為源點，重復執行Dijkstra算法n次。另一種方法是由Floyd于1962年提出的Floyd算法，其時間復雜度為[On3]，雖然與重復執行Dijkstra算法n次的時間復雜度相同，但其形式上略為簡單，且實際運算效果要好于前者。

2.2 最短路徑問題算法的基本步驟[3]

這樣經過有限次迭代則可以求出[v1]到[vn]的最短路線。

（2）Floyd算法的基本步驟

（3）動態規劃算法基本步驟

我們將具有明顯的階段劃分和狀態轉移方程的規劃稱為動態規劃[1]。在解決多個階段決策問題時采用動態規劃法是一個很有效的措施，同時易于實現。

根據動態規劃的基本概念，可以得到動態規劃的基本步驟：1）確定問題的決策對象。2）對決策過程劃分階段。3）對各階段確定狀態變量。4）根據狀態變量確定費用函數和目標函數。5）建立各階段狀態變量的轉移過程，確定狀態轉移方程。

根據動態規劃的基本模型，確定用動態規劃方法解題的基本思路，是將一個[n]階段決策問題轉化為一次求解[n]個具有遞推關系的單階段的決策問題，以此來簡化計算過程.其一般步驟如下：

用于衡量所選決策優劣的函數稱為指標函數.指標函數有有階段的指標函數和過程的指標函數之分.階段的指標函數是對應某一階段狀態和從該狀態出發的一個階段的某種效益度量，用[vkxk，uk]表示。在本文里用[dkxk，uk]來表示某一階段的決策的最短路徑。過程的指標函數是指從狀態[xn（k=1，2，...，n）]出發至過程最終，當采取某種子策略時，按預定的標準得到的效益值。這個值既與[xk]本身的狀態值有關，又與[xk]以后所選取的策略有關，它是兩者的函數值，記作[dk，nxk，uk，xk+1，uk+1，…xn，un]。過程的指標函數又是它所包含的各階段指標函數的函數。本文研究的過程的的指標函數是其各階段指標函數的和的形式.當[xk]的值確定后，指標函數的值就只同k階段起的子策略有關。對應于從狀態[xk]出發的最優子策略的效益值記作[fkxk]，于是在最短路問題中，有[fkxk=mindk，n]。動態規劃求解最短路徑程序流程圖如圖2所示。

3 最短路徑態規劃實際應用舉例

設某物流配送網絡圖由12個配送點組成，點1為配送中心起點，12為終點，試求自終點到圖中任何配送點的最短距離。圖中相鄰兩點的連線上標有兩點間的距離[4]。

首先用動態規劃法來討論圖3的最短路徑，由圖可知：

1）集合[ξ4]中有點9、10、11，它們在一步之內可到達點12；

2）集合[ξ3]中有點6，7，8，它們不超過兩步就可達到點12；

3）集合[ξ2]中包括點 2、3、4、5，不超過三步就可到達點12；

4）集合[ξ1]中包括點1，不超過四步可到達點12；

按照動態規劃法類推，得到最優路徑長為16，徑路通過點為1，2，7，10，12和1，3，6，10，12。

根據動態規劃算法編寫C語言計算程序[5] [6]，計算得到實驗結果如下圖4所示：

由圖4可以看出程序得到的結果與本文推出的結果一樣。證明了本文編寫的C語言程序是正確的。

4 結束語

綜上所述，用動態規劃解決多階段決策問題效率高，而且思路清晰簡便，同時易于實現.我們可以看到，動態規劃方法的應用很廣泛，已成功解決了許多實際問題，具有一定的實用性。此種算法我們用動態規劃思想來編程，并解決相應的問題，其在 VC 環境下實現，能方便快速的計算出到達目的地的最短距離及路徑，節省更多的運輸時間與成本。不過，該文只考慮了動態規劃算法在生活中的簡單運用，在實際生活中可能存在多個目的地或者更復雜的情況.因此我們可以考慮將其進行改進或者結合啟發式算法，使之更好的運用在實際生活中，這有待于以后的繼續研究。

參考文獻：

[1] 杜彥娟.利用動態規劃數學模型求解最短路徑[J].煤炭技術，2005（1）：94-95.

篇(6)

關鍵詞： 虛擬機； 動態規劃； 分配； 定價

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）21?0159?05

A virtual machine allocation method based on dynamic planning

WANG Yan1， SUN Maosheng2， ZHU Junwu2， 3

（1. Center of Informatization， Xuzhou University of Technology， Xuzhou 221018， China；

2. School of Information Engineering， Yangzhou University， Yangzhou 225009， China；

3. Department of Computer Science and Technology， University of Guelph， Guelph NIG2K8， Canada）

Abstract： The dynamic allocation mechanism based on combination auction makes the cloud auctioneer allocate the cloud resource efficiently according to the market requirement， and brings high benefit for the auctioneer. The existing method uses the greed method to allocate the virtual machine resource， and allocates the resource for the high tender?density users optimally. Ho?wever this local optimal selection can′t bring the global optimal solution. A DP?VMPA （dynamic planning based virtual machine provision allocation） method is proposed， which takes the maximal social welfare as target function， uses CA?DP allocation algorithm to find out the obtained users set of resource. The VCG mechanism is used to price for the users. An application example shows that the DP?VMPA method can allocate the virtue machine resources efficiently， and bring a high benefit for the auctioneer.

Keywords： virtue machine； dynamic planning； allocation； pricing

0 引 言

當下云拍賣商們大都使用基于固定價格機制的方法分配和賣出云資源，例如Windows Azure[1]和Amazon EC2[2]。顯然這種分配和定價體制有不少缺點，首先它不能保證資源的有效分配，那些對資源估價高的用戶并不總能如愿獲得請求資源，其次云拍賣商的利潤偏低[3?4]。基于拍賣的機制可以有效地解決如上問題，它權衡用戶請求的資源量及對資源的估價，決定對用戶的分配及定價。

拍賣機制分靜態拍賣和動態拍賣，靜態機制需要拍賣商提前供應虛擬機資源并且不能改變資源量，動態拍賣下，拍賣商可以使用虛擬化技術，根據用戶需求量動態配置各類虛擬資源，并將它們按單位虛擬機實例賣出，保證資源的高效利用。現有的方法大都使用貪婪算法[3?5]決定用戶的分配。它對用戶的投標價值密度由高到低排序，在資源容量內依次選擇價值密度高的投標，將資源分配給用戶，這種啟發式的策略并不總能獲得最優解。

通常WDP問題是個NP完全問題，可以對虛擬機供應與分配問題VMPA進行客觀描述，給出目標函數，然后使用基于組合拍賣的動態規劃算法（CA?DP Allocation Algorithm）求出分配最優解。DP算法是先把問題分成多個子問題（一般地，每個子問題是互相關聯和影響的），再依次研究逐個問題的決策。動態規劃方法設計算法的主要思路使用最優性原理找出遞推關系， 再找最優決策序列。定價方案上采用基于最優分配的VCG（Vickrey?Clarke?Groves）機制，即用分配給該用戶的資源對其余用戶的社會損失給其定價。

本文根據虛擬機分配問題的目標函數，提出DP?VMPA Mechanism （Dynamic Programming Mechanism that solves VMPA problem），采用CA?DP allocation algorithm解決分配問題，同時使用VCG定價機制決定用戶的支付。這個機制能保證資源的有效利用，并為提供商帶來更高的利潤。

1 相關工作

Zaman等人首先詳細介紹了基于固定價格的分配機制[3]，然后提出兩種基于拍賣的靜態虛擬機分配機制CA?GREEDY機制和CA?LP機制，并將它們與Fixed?Price機制比較，相比于固定價格機制，基于拍賣的機制能更有效地分配虛擬機資源，提高拍賣商利益。CA?LP機制在分配資源和增大收益方面表現突出，CA?GREEDY機制因其快速有效的分配性能被廣泛認可。文獻[4]中，拍賣商結合虛擬化技術對資源實現動態配置，使用CA?PROVISION機制分配虛擬機資源。本文嘗試將此機制與靜態分配下的CA?GREEDY機制比較，實驗表明，動態分配下，拍賣商根據市場需求動態供應資源，可以保證資源的高效利用，增大拍賣商的利潤。它還通過設置保留價格進一步提升拍賣商的收益。文獻[6]提出一種有效投標策略，幫助云計算用戶生成最佳投標（請求的虛擬機資源組合和對這組資源的估價）。這種投標策略能夠幫助用戶高效地完成云計算任務，提高執行效用。資源的有效利用也使得拍賣商收益增加。Nejad在文獻[5]中提出動態虛擬機資源的啟發式貪婪分配算法，它詳細描述了用戶對多類虛擬機資源CPU、內存和容量的請求數量，然后根據各類資源稀缺性參數重新定義價值密度，按貪婪算法進行資源分配。文獻[3?5]均采用貪婪法分配資源，貪婪法一步步的構造局部最優解，使得最終分配解保持可行性且能產生較大效益。

Garfinkel提出了集分割算法解決組合拍賣下的分配問題[7]；Nisan將Winner集決定問題表示成一個標準的混合整數規劃問題[8]，提出使用商用軟件和一些簡單算法求解該問題。Sandholm在文獻[9]提出使用軟件CPLEX可以高效地解決WDP問題，使資源充分利用。Fujisima推薦CASS軟件來處理更大規模的WDP[10]。將組合拍賣下的分配借助各類軟件的整數規劃實現，這是完全可行的，不過這些軟件無法用算法描述，另外它們只能給出最優分配集合，對用戶的定價問題卻無法解決。文獻[11]在眾包分配與定價問題中介紹了4種可行的機制：OPT，GREEDY，VCG和TruTeam，并通過實驗比較各個機制，得出結論VCG機制和TruTeam機制均能高效利用資源，同時證明其滿足個體理性和真實性。

2 動態虛擬機供應與分配問題

通過虛擬化技術的應用，云計算提供商可以將計算資源動態配置成任意類型的虛擬機組合。一個云拍賣商向用戶提供[m]類虛擬機實例資源，[VM1，VM2，…，][VMm。]虛擬機類型[VMi]的計算能力表示為[wi，]其中[w1]=1，[w1

考慮有[n]個用戶[u1，u2，…，un]向云提供商請求虛擬機。用戶[uj]向拍賣商提交一組投標[Bj=（rj1，…，rmj，vj），]其中[rij]是請求的虛擬機[VMi]的數量，[vj]是單位時間內用戶[j]得到虛擬機愿意最大支付的金額。拍賣商階段性的組織拍賣分配虛擬機，一單位時間即這輪拍賣的拍賣商的分配與定價決策到下輪拍賣的決策之間的時間間隔。為了定義云提供商獲得的利益，定義[P={p1，p2，…，pn}，]其中用[pj]表示用戶[j]獲得請求的資源時需要支付的金額，通常小于[vj]；將分配問題的解定義為[x=（x1，x2，…，xn）]，分配向量中的元素[xj∈{0，1}，][xj=1]表示用戶[j]得到虛擬機組合，反之[xj=0]表示用戶未得到；集合[W=uj1≤j≤n，xj=1]作為投標勝利用戶集。[sj=][i=1mwirij]表示用戶[uj]請求的單位計算資源的數量，其中單位資源也就是一個[VM1]類型的虛擬機實例。

定義1：動態虛擬機供應與分配問題可以形式化描述為：

[maxj=1nxjpj]

[s.t. j=1nxjsj≤Mxj∈0，10≤pj≤vj]

式中：約束條件（1） 表明成功投標的用戶請求的虛擬機資源總量不得超過拍賣商所擁有的資源量；式（2）表示規定分配向量[xj]的取值范圍；式（3）表示此不等式保證用戶的支付金額不超過用戶對其請求資源的最大估價，也就是確保用戶的效用[Uj=vj-pj]不為負。組合拍賣的最優方案應該是最大化云拍賣商的利益，但很難找出一個客觀函數描述它，通常尋找最大化社會總福利（成功獲得虛擬機資源的用戶投標總價值）作為解決組合拍賣問題的方案。這種分配方案決定了拍賣商對每類虛擬機的配置，計算[ki=j=1nxjrij，]即[VMi]類虛擬機需要供應的數量為[ki]。

定義2：真實的（Truthful， Incentive Compatible）假定任意用戶[j]其在真實報價情形下獲得的效用為[u1，]任意虛假報價下獲得的效用為[u2，]若給定機制中[u1-u2≥0，]則稱該機制是Truthful的。即用戶只有通過向機制提交真實的估價，他才能獲得最大效用。真實性使得用戶在投標決策時不需考慮復雜的投標策略，更不需考慮其他用戶的投標方案。

定義3：個體理性（Individual Rationality），即在一機制中，對每個用戶[j]，用戶的效用[Uj=vj-pj]大于等于0，則稱用戶[j]是個體理性的。

3 基于組合拍賣的動態虛擬機供應與分配機制

本文提出的DP?VMPA Mechanism決定了獲得虛擬機的Winner用戶集和這個集合中每個用戶的定價。這種組合拍賣機制能有效分配虛擬機資源，為拍賣商帶來更高的收益（Efficient）。

Algorithm 1：DP?VMPA Mechanism

Input：[M；m；wi：1，…，m；]

Output：[W；P；ki：1，…，m；]

1.{phase： Collect [Bids]}

a.Initialize [BNΦ]

b.For [j]=[1，2，…，n，]

Collect bid [Bj=（rj1，…，rjm，vj）] from user [uj]

c.[BNBN?{Bj}]

2.{phase 2： Winner Determination and Provision}

（[W，][BestValue]） = CA?DP（[BN，][M]） //Algorithm 3

For [i=1，…，m，]

[kij：uj∈Wrij]

3.{phase 3：[Payment]}

For all [j∈W]

（[W，][BestValue]） = CA?DP（[BN-{uj}，][M]） //Algorithm 3

[pjBestValue-（BestValue-vj）]

For all [j?W，]

[pj0]

Return （[W；P；ki：1，…，m]）

動態規劃求解虛擬機供應與分配機制（DP?VMPA）如上，機制被云提供商階段性的調用，運行該機制需要提供三個輸入參數：虛擬機資源總量[M，]虛擬機的類型數量[m]和相應的虛擬機權重[wi，]輸出三個參數：成功獲得虛擬機資源的用戶集合[W，]用戶支付向量[P]以及提供商對每類虛擬機的供應數量[ki]。

動態規劃機制也分為三個階段。第一階段，拍賣商收集用戶的投標，所有用戶的投標構成集合[BN。]第二階段使用動態規劃分配算法（算法3給出CA?DP分配算法）決定獲得資源的Winner集合，求出該集合下產生的最大社會總價值[BestValue]，同時決定出拍賣商的虛擬機供應方案。第三階段，使用VCG機制求出Winner集合每個用戶應當支付的金額，即用戶[j]不參與拍賣所能得到的最大價值總和減去用戶[j]參與拍賣并獲得資源時其他用戶的價值量總和，未獲得虛擬機的用戶支付量為0。

Algorithm 2： CA?DP allocation algorithm

Input：[BN，M]

Output：[W，BestValue]

1.Initialize [BNΦ，nsize（BN），] [bestValues[n+1][M+1]]

2.For [j=0，1，…，n，]

[sji=1mwirij]

For [h=0，1，…，M，]

If [h=0j=0] then [bestValues[i][j]0]

Else

If [sj>h]then [bestValues[j][h]bestValues[j-1][h]]

Else[bestValues[j][h]][max{bestValues[j-1][h]，bestValues[j-1]]

[[h-sj]+vj}]

3.[hM]

4.For [j]=[n，…，1]

If [bestValues[j][h]>bestValues[j-1][h]]

then [WW?{uj}，][hh-sj]

5.[BestValuebestValues[n][M]]

Return （[W，][BestValue]）

基于組合拍賣的動態規劃分配算法如上所述，該算法需要提供兩個參數，即所有參與投標的用戶集合[BN]和虛擬機資源總量[M。]運行算法可以得到兩個值，即最優分配下的投標成功用戶集合[W]和對應的最大估價之和BestValue。

組合拍賣問題的最優解結構：可以將組合拍賣分配問題的求解過程看作是進行一系列的決策過程，即決定哪些用戶應該獲得虛擬機資源，哪些用戶不該獲得請求資源。如果一個問題的最優解包含了用戶[n]，即[xn=1，]那么其余[（x1，x2，…，xn-1）]一定構成子問題1，2，[…]，[n-1]在云提供商擁有虛擬機資源為[M-sj]時的最優解。如果這個最優解不包含物品[n]，即[xn=0，]那么其余[（x1，x2，…，xn-1）]一定構成子問題1，2，[…]，[n-1]在資源量為[M]時的最優解。

那么根據上述分析的最優解的結構性質，遞歸地定義問題最優解。[bestValues[j][h]]表示虛擬機資源量為[h]時，前[j]個用戶導致的最優解的總價值，那么總有：

[bestValues[j][h]=bestValues[j-1][h]，sj>hmaxbestValues[j-1][h]， bestValues[j-1][h-sj]+vj，sj≤h]

當用戶[j]請求的資源量大于[h]時，[bestValues[j][h]]由虛擬機資源量為[h]時，前[j-1]個用戶最優解的總價值決定；當用戶[j]請求的資源量不大于[h]時，通過比較不允許[j]獲得資源的總價值[bestValues[j-1][h]]和允許[j]獲得請求的資源產生的總價值[bestValues[j-1][h-sj]+vj]，總價值高的作為[bestValues[j][h]]的最優解價值。顯然最終要求的是[bestValues[j][h]]。

求出最優解下的總價值后，可以通過回溯找出所有成功獲得虛擬機資源的用戶，即通過比較虛擬機資源量為[h]時，前[j-1]個用戶最優解的總價值[bestValues[j-1][h]]和虛擬機資源量為[h]時，前[j]個用戶最優解的總價值[bestValues[j][h]]，來得出用戶[j]能否獲得請求資源。回溯需要從[j=n]，[h=M]處開始，直至[j=1]，[h=0，]并將結果保存在集合[W]中。

命題1 DP?VMPA機制的時間復雜度為[O（nnM）]

證明：CA?DP分配算法中遞歸求最優解，使用兩個for循環對[j=0，1，…，n]和[h=0，1，…，M]下每種狀態求出最優解，時間復雜度為[O（nM），]回溯法求投標成功用戶集合[W]只需遍歷一個for循環，其時間復雜度為[O（n），]總共時間復雜度為[O（nM）]。使用VCG機制對Winner集中每個用戶求支付金額，對每個用戶需要調用CA?DP分配算法，最壞時間復雜度為[O（nnM）]。

命題2 DP?VMAP機制是Truthful的

證明：證明真實性（Truthful），首先證明其分配單調性（Monotone），即用戶可以通過增大對請求的虛擬機組合的估價[vj]，或者減少請求的虛擬機資源總量[sj]來增加獲得請求資源的幾率，所以說機制是單調性的。

其次證明支付金額為臨界價格（Critical Value），動態規劃機制求出分配最優解的前提下，使用VCG機制對投標成功的用戶定價，用戶[j]不參與拍賣所能得到的最大價值總和減去用戶[j]參與拍賣時其他用戶的價值量總和，求出的支付金額[pj]是臨界價值。

命題3 DP?VMAP機制滿足個體理性

證明：對獲得資源的每個用戶[pj=BestValue-][（BestValue-vj），]因為動態規劃基于最優分配，所以公式中[bestValue≤bestValue，]即證[Uj=vj-pj=bestValue-][bestValue≥0]。未獲得虛擬機的用戶[Uj=0，]所以綜上機制滿足個體理性。

4 應用案例及分析

假定[n=4，][M=8，]4個用戶的請求虛擬機數量和報價：（3，3），（2，4），（4，1），（1，2），[bestValue[j][c]]取值如表1所示（[j=]0或[c=0，][bestValue[j][c]]=0）。

時間復雜度：基于組合拍賣的動態規劃分配算法中，根據最優解結構性質，對[j∈[0，n]]和[c∈[0，M]]每種狀態下使用遞歸式求出最優解，使用兩個for循環，其時間復雜度為[O（nM）]。回溯法求投標成功用戶集合[W]只需遍歷一個for循環，其時間復雜度為[O（n），]總共時間復雜度為[O（nM）]。

空間復雜度：動態規劃求最優解需要構造（n+1）×（[M+1]）的二維數組，用于存儲[（j，c）]下的最大價值[bestValue[j][c]，]空間復雜度為[O（nM）]。

5 結 論

為了解決虛擬機動態分配問題，提出一種基于動態規劃的虛擬機分配機制。這種機制以最大社會福利為目標函數，遞歸求解最優分配下的用戶集，并使用VCG機制對用戶資源定價。DP?VMPA機制能夠使更多的用戶完成應用，高效利用虛擬機資源，明顯增大了拍賣商的收益。這個機制時間復雜度較高，不建議對大規模用戶參與的虛擬機分配問題使用該機制，后續工作將圍繞對CA?DP分配函數進行優化處理，并對VCG機制進行改進，使得定價機制更加簡易高效。

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篇(7)

Abstract： In this paper， cascade reservoirs flood control scheduling optimization model is constructed， M method is used to simulate the water flow state of cascade reservoirs. This model is an aftereffect dynamic programming model. This paper discusses the corresponding method， points out a kind of multi-dimensional dynamic programming recursive solution. And the instance analysis shows that the model has certain scientific nature， the results of it are representative， the calculation method by the discussion is quick， and the maneuverability is strong. It is a kind of high efficient calculation model and calculation method.

關鍵詞：梯級水庫；優化調度；動態模型；規劃；求解

Key words： cascade reservoir；optimal operation；dynamic model；programme；solve

中圖分類號：TV622 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）01-0219-03

0 引言

當前，中國已經建有各種水庫8.6萬個，大規模水庫482個，中規模水庫3000個。中國的大部分水庫并不是獨立的個體，而是融入梯級水庫群里，可謂聯系緊密。在梯級開發的流域內修筑一個新的建筑抑或采取一類防洪舉措，都能對梯級水庫群帶去一定的改變。梯級水庫構建完成以后，河流洪水的特征以及區域構成都將產生改變，特別是在上游擁有調水功能的水庫，洪水的時間、空間分布將產生顛覆性的改變。在工程的防洪設計的同時，假如工程上游擁有調水以及蓄水能力較強的業已修建完成抑或近段時間就要修建完成的梯級水庫抑或梯級水庫群，就要權衡到水庫調節洪水的功用與對下游設計斷面的作用。假如設計規劃針對的是洪水調節功能健全的水庫建筑，而且要擔負下游防洪的職責；那必須研討該建筑對下游防洪的效益。

1 水庫防洪任務和目標

通常情況下，水庫在汛期遇到洪水的時候防洪要分成三種：一種是工程自身的防洪需要，通常用壩前水位顯示；一種是庫區防洪需求，通常是由于庫區淹水抑或庫尾回水而引發，淹水范疇和水庫壩前水位、入庫流量相關，在庫區防洪標準既定的情況下（相應的入庫規劃洪水給定），庫區防洪也由壩前水位顯示；一種是擔負下游防洪區的防洪工作，一般是以河道安全泄洪量標識，抑或依照堤防安全高程和水位流量的相關數據，核算出河道安全流量。

并且，水庫自身的防洪功能在全部水庫中都能夠體現，在上述三種防洪需求中，下游防洪工作應讓水庫盡可能頻繁削峰，阻攔或儲蓄洪水；庫區以及大壩防洪需求，需要水庫盡可能下泄，讓壩前水位下降，保護水庫庫區淹水導致的財物耗損；并且騰出防洪庫容，用來調蓄后續洪水。所以，兩者有著一定的矛盾；另外，防洪級別不一而足，下游以及庫區的防洪準則比大壩防洪準則要寬松，然而下游以及庫區防洪標準孰高孰低，要根據實際狀況確定。進而為明確防洪需求孰先孰后、調整防洪需求以及防洪和發電功能的發揮奠定了基礎。

2 水庫防洪調度現狀分析

2.1 傳統水庫防洪調度策略

常規調度方法是一種半經驗和半理論的方法，借助水庫的防洪能力圖、防洪調度圖等經驗性圖表進行調度。具體來講，目前主要有以下調度策略：

①最大削峰標準。

就是說：洪峰流量要盡可能縮減。

②最小災害肆虐時間標準。

就是說：防洪管控截面流量越過允許范疇內的安全流量的時間盡可能縮短。

③最強防洪安全標準。

就是說：在迎合下游防洪管控截面安全泄量的前提下，盡量下泄，以保存防洪庫容，預防以后更大規模洪水的侵襲。

①與②把下游防洪需求放在非關鍵位置，所以使用在大規模洪峰過境的情況；③則應用在小型洪水的排泄中。

2.2 存在的問題

傳統調度策略主要是將線性規劃、非線性規劃、動態規劃等應用于水庫防洪調度中。這些防洪調度技術為水庫防洪調度提供了一種解決辦法，但是難以適應實時防洪形勢的變化，并且難以模擬調度人員的經驗知識。并且傳統調度方法未能徹底解決以下幾個矛盾：

①設計與實際運用不相適應的矛盾。

運行階段由于水文資料的積累，特別是發生了幾次特大洪水以后，人們對本流域水文規律認識加深。將運行后的資料加入原設計所依據的水文系列，導致洪水統計參數有了明顯變化，因而設計洪水也有變化。如按原設計確定的汛限水位進行洪水調節計算，最高庫水位超過了原設計最高洪水位，則說明原設計標準偏低。

②水庫本身安全與下游防洪安全的矛盾。

這是水庫汛期控制運用的主要任務。當水庫上、下流域普降大暴雨，水庫本身防洪安全與下游防洪安全的矛盾非常突出，具體表現為從下游防洪出發，要求水庫多蓄水、少泄水，而從水庫安全出發則要求水庫水、多泄水。解決這一問題的關鍵在于：分析矛盾，掌握規律，研究預報，確定出水庫何時開閘，泄流量多大，何時關閘等一套合理的蓄泄原則。在汛期按照預定的泄流方式調度水庫時應達到如下要求：如果某次洪水與下游防洪標準相當，則應保證下游河道的泄流量在允許安全泄量以下或相等；如果某次洪水與原設計或校核洪水相當，則水庫調洪最高水位以不超過設計或校核洪水位為原則；如果某次洪水為可能最大洪水，亦應采取有效措施確保大壩安全。

③防洪與興利的矛盾。

我國北方年降水大部分集中在汛期，而汛期內降水又集中于幾場暴雨。為了水庫防洪安全，整個汛期庫水位降的較低，不敢蓄水，導致許多水庫，尤其是北方以灌溉、供水、發電為主的大型多年調節水庫，汛后無水可蓄。解決防洪與興利矛盾的關鍵是對未來水文規律的了解和預測， 如果對未來的來水情況能夠準確預測，水庫的調度運用就變得簡單，防洪與興利的矛盾就會迎刃而解。但是目前中長期水文預報還不可靠，未達到可利用的程度，防洪與興利的矛盾將長期存在，伴隨著整個防洪調度過程。

3 梯級水庫防洪優化調度模型

權衡到如圖1中的梯級水庫防洪調度疑問。

水庫1與水庫2不但要滿足施工自身的防洪需求，還要權衡到庫區鐵道防洪需求以及下游縣級市的防洪需求。如果上游水庫1入庫洪水流程能夠測出，兩個水庫間的洪水流程也能夠預先知道，在迎合下游縣級市防洪需求的基礎上，以兩水庫聯手調節和儲蓄一段洪水時的調洪庫容最小化為優化標準，找到洪水在體積水庫的最合適時段以及空間調配方法，就是說訂立兩水庫的最優防洪調度模式。

假定3小時為單位時限，將洪水流程分成T個時段（t=1，2，…，T），I1t以及ILt分別顯示上游水庫入庫洪水流程以及區間洪水流程；O1t以及O2t則分開顯示水庫出庫流量；V1.t+1以及V2.t+1則是第t時間段末庫容，構建下面的數學模型。

3.1 目標函數

梯級水庫調用的總調洪水庫容極小值是：

通過這樣的處置以后，能夠看到：動態規劃順序遞推法求解梯級水庫防洪調度模型，這類換算辦法筆者將其叫做簡易化二維動態規劃算法；換算的難度稍微增長，然而換算量沒有顯著提升。

5 案例分析

5.1 案例概述

以漢江流域某個梯級水庫防洪調度情況為例子，這兩個梯級水庫一個是季調節能力水庫，一個是不完全年調節能力水庫，核定洪水位下的防洪庫容不大，對100年才遭遇一次抑或之下的洪水，這個梯級水庫洪區區域構成是上游、區間、全流域型三種，以第三類為防洪重點。

5.2 水庫防洪優化調度過程

針對50年一遇的洪水，在汛期來臨前運用上述優化調度模型對該梯級水庫進行全流域優化調度后，對洪峰及洪水流量進行了有效的調節，圖2即為洪水來臨時洪水和調節后的出庫流量流程。

從圖2看出，第一時段的洪水來臨的時候應適度增大泄量預泄，騰出一些庫容，本時段重點是看洪水入庫的時候水庫的起調水位；第二時段應管控水庫泄量，該時段重點是水庫應管控泄流量多寡，其呈現出了蓄水以及防水的沖突抑或庫區防洪和下游防洪需求的沖突，是一類高層級協調課題；第三時段――水庫水位消落，其重點是水庫泄流量多寡，它對水庫水位的消落速率有極大影響。而且，以上游水庫出庫流量多寡最為關鍵――當產生區間抑或全流域型洪水的時候，要由上游水庫攔擋洪水再騰出庫容。

5.3 優化調度效果

總的來說，未調節前，該汛期出現了2個洪峰，出庫水量巨大，使得下游面臨非常大的防空壓力。對汛期洪水進行優化調度后，在庫區只出現了1個洪峰，并且出庫水量始終在可控范圍內，大大減輕了下游的防洪壓力。

6 結束語

綜上，利用上面列出的算式，能夠對梯級水庫防洪優化調度的動態規劃給出有建設性的意見；而通過兩庫聯手調節洪水的模式，能夠極有成效地管控洪峰，并且能夠優化梯級水庫布局，保護沿河流域的居民生命財產安全。

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